Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polsubN 35715
Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubsp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polsubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2 eqid 2761 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 polsubsp.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2761 . . 3 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 polsubsp.p . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 35714 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7 hllat 35172 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
87adantr 472 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 hlop 35171 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
109adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11 hlclat 35167 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 3atssbase 35099 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14 sstr 3753 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1513, 14mpan2 709 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1612, 1clatlubcl 17334 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1711, 15, 16syl2an 495 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1812, 2opoccl 35003 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
1910, 17, 18syl2anc 696 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20 polsubsp.s . . . 4 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
2112, 20, 4pmapsub 35576 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
228, 19, 21syl2anc 696 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
236, 22eqeltrd 2840 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wss 3716  cfv 6050  Basecbs 16080  occoc 16172  lubclub 17164  Latclat 17267  CLatccla 17329  OPcops 34981  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  PSubSpcpsubsp 35304  pmapcpmap 35305  𝑃cpolN 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-undef 7570  df-preset 17150  df-poset 17168  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-polarityN 35711
This theorem is referenced by:  polssatN  35716  pclss2polN  35729  psubclsubN  35748  osumcllem1N  35764
  Copyright terms: Public domain W3C validator