Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polssatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polssatN 35716
Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polssatN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem polssatN
StepHypRef Expression
1 polssat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 eqid 2771 . . 3 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
3 polssat.p . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
41, 2, 3polsubN 35715 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
51, 2psubssat 35562 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
64, 5syldan 579 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6031  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  PSubSpcpsubsp 35304  𝑃cpolN 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-undef 7551  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-polarityN 35711
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  35726  polcon2N  35727  pclss2polN  35729  2pmaplubN  35734  paddunN  35735  ispsubcl2N  35755  poml5N  35762  osumcllem1N  35764  osumcllem2N  35765  osumcllem3N  35766  osumcllem9N  35772  osumcllem11N  35774  pexmidN  35777  pexmidlem2N  35779  pexmidlem3N  35780  pexmidlem7N  35784  pexmidlem8N  35785
  Copyright terms: Public domain W3C validator