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Theorem polid2i 28354
Description: Generalized polarization identity. Generalization of Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid2.1 𝐴 ∈ ℋ
polid2.2 𝐵 ∈ ℋ
polid2.3 𝐶 ∈ ℋ
polid2.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
polid2i (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem polid2i
StepHypRef Expression
1 4cn 11304 . 2 4 ∈ ℂ
2 polid2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℋ
3 polid2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
42, 3hicli 28278 . 2 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
5 4ne0 11323 . 2 4 ≠ 0
6 2cn 11297 . . . 4 2 ∈ ℂ
7 polid2.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℋ
8 polid2.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℋ
97, 8hicli 28278 . . . . 5 (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
104, 9addcli 10250 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
114, 9subcli 10563 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
126, 10, 11adddii 10256 . . 3 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
13 ppncan 10529 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
144, 9, 4, 13mp3an 1572 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1542timesi 11354 . . . . . 6 (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1614, 15eqtr4i 2796 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = (2 · (𝐴 ·ih 𝐵))
1716oveq2i 6807 . . . 4 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
186, 6, 4mulassi 10255 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
19 2t2e4 11384 . . . . 5 (2 · 2) = 4
2019oveq1i 6806 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (4 · (𝐴 ·ih 𝐵))
2117, 18, 203eqtr2ri 2800 . . 3 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
222, 8hicli 28278 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
237, 3hicli 28278 . . . . . . 7 (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2422, 23addcli 10250 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
2524, 10, 10pnncani 10582 . . . . 5 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
262, 7, 8, 3normlem8 28314 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
272, 7, 8, 3normlem9 28315 . . . . . 6 ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
2826, 27oveq12i 6808 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))))
29102timesi 11354 . . . . 5 (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
3025, 28, 293eqtr4i 2803 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
31 ax-icn 10201 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
3231, 7hvmulcli 28211 . . . . . . . . 9 (i · 𝐶) ∈ ℋ
3331, 3hvmulcli 28211 . . . . . . . . 9 (i · 𝐵) ∈ ℋ
342, 32, 8, 33normlem8 28314 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
352, 32, 8, 33normlem9 28315 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
3634, 35oveq12i 6808 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))))
3732, 33hicli 28278 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
3822, 37addcli 10250 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) ∈ ℂ
392, 33hicli 28278 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
4032, 8hicli 28278 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) ∈ ℂ
4139, 40addcli 10250 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
4238, 41, 41pnncani 10582 . . . . . . 7 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
43412timesi 11354 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
44 his5 28283 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
4531, 2, 3, 44mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵))
46 cji 14107 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘i) = -i
4746oveq1i 6806 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
4845, 47eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
49 ax-his3 28281 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5031, 7, 8, 49mp3an 1572 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷))
5148, 50oveq12i 6808 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) = ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5251oveq2i 6807 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5343, 52eqtr3i 2795 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5436, 42, 533eqtri 2797 . . . . . 6 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5554oveq2i 6807 . . . . 5 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
56 negicn 10488 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
5756, 4mulcli 10251 . . . . . . 7 (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5831, 9mulcli 10251 . . . . . . 7 (i · (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5957, 58addcli 10250 . . . . . 6 ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) ∈ ℂ
606, 31, 59mul12i 10437 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
6131, 57, 58adddii 10256 . . . . . . 7 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
6231, 31mulneg2i 10683 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = -(i · i)
63 ixi 10862 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
6463negeqi 10480 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
65 negneg1e1 11334 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6662, 64, 653eqtri 2797 . . . . . . . . . 10 (i · -i) = 1
6766oveq1i 6806 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))
6831, 56, 4mulassi 10255 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)))
694mulid2i 10249 . . . . . . . . 9 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7067, 68, 693eqtr3i 2801 . . . . . . . 8 (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7163oveq1i 6806 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷))
7231, 31, 9mulassi 10255 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
739mulm1i 10681 . . . . . . . . 9 (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷)) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7471, 72, 733eqtr3i 2801 . . . . . . . 8 (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7570, 74oveq12i 6808 . . . . . . 7 ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷))
764, 9negsubi 10565 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7761, 75, 763eqtri 2797 . . . . . 6 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7877oveq2i 6807 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
7955, 60, 783eqtr2i 2799 . . . 4 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
8030, 79oveq12i 6808 . . 3 ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
8112, 21, 803eqtr4i 2803 . 2 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))))
821, 4, 5, 81mvllmuli 11064 1 (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  1c1 10143  ici 10144   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  2c2 11276  4c4 11278  ccj 14044  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118   ·ih csp 28119   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-hfvadd 28197  ax-hfvmul 28202  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  polidi  28355  lnopeq0lem1  29204  lnophmlem2  29216
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