Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polcon3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polcon3N 35726
Description: Contraposition law for polarity. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polcon3N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))

Proof of Theorem polcon3N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
2 iinss1 4668 . . 3 (𝑋𝑌 𝑝𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ 𝑝𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)))
3 sslin 3987 . . 3 ( 𝑝𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) ⊆ 𝑝𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝)) → (𝐴 𝑝𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 𝑝𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
41, 2, 33syl 18 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → (𝐴 𝑝𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))) ⊆ (𝐴 𝑝𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
5 eqid 2771 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6 2polss.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2771 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
95, 6, 7, 8polvalN 35714 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) = (𝐴 𝑝𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
1093adant3 1126 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → ( 𝑌) = (𝐴 𝑝𝑌 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
11 simp1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → 𝑌𝐴)
131, 12sstrd 3762 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
145, 6, 7, 8polvalN 35714 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = (𝐴 𝑝𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
1511, 13, 14syl2anc 573 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → ( 𝑋) = (𝐴 𝑝𝑋 ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑝))))
164, 10, 153sstr4d 3797 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723   ciin 4656  cfv 6030  occoc 16157  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  pmapcpmap 35306  𝑃cpolN 35711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-polarityN 35712
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  35727  polcon2N  35728  paddunN  35736
  Copyright terms: Public domain W3C validator