Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polatN 35739
Description: The polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polat.o = (oc‘𝐾)
polat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polat.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polatN ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝑀‘( 𝑄)))

Proof of Theorem polatN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4485 . . 3 (𝑄𝐴 → {𝑄} ⊆ 𝐴)
2 polat.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
3 polat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 polat.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5 polat.p . . . 4 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 5polvalN 35713 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝐴 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( 𝑝))))
71, 6sylan2 492 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝐴 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( 𝑝))))
8 fveq2 6354 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑄 → ( 𝑝) = ( 𝑄))
98fveq2d 6358 . . . . 5 (𝑝 = 𝑄 → (𝑀‘( 𝑝)) = (𝑀‘( 𝑄)))
109iinxsng 4753 . . . 4 (𝑄𝐴 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( 𝑝)) = (𝑀‘( 𝑄)))
1110adantl 473 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( 𝑝)) = (𝑀‘( 𝑄)))
1211ineq2d 3958 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝐴 𝑝 ∈ {𝑄} (𝑀‘( 𝑝))) = (𝐴 ∩ (𝑀‘( 𝑄))))
13 olop 35023 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
14 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 3atbase 35098 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1614, 2opoccl 35003 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1713, 15, 16syl2an 495 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → ( 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1814, 3, 4pmapssat 35567 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘( 𝑄)) ⊆ 𝐴)
1917, 18syldan 488 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑀‘( 𝑄)) ⊆ 𝐴)
20 sseqin2 3961 . . 3 ((𝑀‘( 𝑄)) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝑀‘( 𝑄))) = (𝑀‘( 𝑄)))
2119, 20sylib 208 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝐴 ∩ (𝑀‘( 𝑄))) = (𝑀‘( 𝑄)))
227, 12, 213eqtrd 2799 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = (𝑀‘( 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cin 3715  wss 3716  {csn 4322   ciin 4674  cfv 6050  Basecbs 16080  occoc 16172  OPcops 34981  OLcol 34983  Atomscatm 35072  pmapcpmap 35305  𝑃cpolN 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-ats 35076  df-pmap 35312  df-polarityN 35711
This theorem is referenced by:  2polatN  35740
  Copyright terms: Public domain W3C validator