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Theorem pockthlem 15656
Description: Lemma for pockthg 15657. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6 (𝜑𝑃𝑁)
pockthlem.7 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
Assertion
Ref Expression
pockthlem (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 pcdvds 15615 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
52nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
6 pockthg.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
76nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
8 dvdsmul1 15050 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
95, 7, 8syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
10 pockthg.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
1110oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
122, 6nnmulcld 11106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
1312nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14 ax-1cn 10032 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
15 pncan 10325 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
1613, 14, 15sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
1711, 16eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
189, 17breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
19 prmnn 15435 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
201, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
21 pockthlem.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
2221nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
2320, 22nnexpcld 13070 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
2423nnzd 11519 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
25 1z 11445 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
26 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
2712, 26syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
28 eluzp1p1 11751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
3010, 29eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
31 eluzp1m1 11749 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
3225, 30, 31sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
3332, 26syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3433nnzd 11519 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
35 dvdstr 15065 . . . . . . 7 (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
3624, 5, 34, 35syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
374, 18, 36mp2and 715 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
3823nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
39 dvdsval2 15030 . . . . . 6 (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
4024, 38, 34, 39syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
4137, 40mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
42 pockthlem.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
43 prmnn 15435 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
45 pockthlem.9 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4644nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
47 gcddvds 15272 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
4845, 46, 47syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
4948simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
5048simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
51 pockthlem.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑁)
5245, 46gcdcld 15277 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
54 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
5554fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
5630, 55syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
57 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
5958simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6059nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
61 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃𝑃𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
6253, 46, 60, 61syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃𝑃𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
6350, 51, 62mp2and 715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
6459nnne0d 11103 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
65 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
6665necon3ai 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
68 dvdslegcd 15273 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
6953, 45, 60, 67, 68syl31anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
7049, 63, 69mp2and 715 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
71 pockthlem.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
7271oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
7333nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
74 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7545, 73, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
76 modgcd 15300 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
7775, 59, 76syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
78 gcdcom 15282 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
7925, 60, 78sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
80 gcd1 15296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
8160, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
8279, 81eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
8372, 77, 823eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
84 rpexp 15479 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
8545, 60, 33, 84syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
8683, 85mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
8770, 86breqtrd 4711 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
8844nnne0d 11103 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ≠ 0)
89 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
9089necon3ai 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
9188, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
92 gcdn0cl 15271 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
9345, 46, 91, 92syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
94 nnle1eq1 11086 . . . . . . . 8 ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
9593, 94syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
9687, 95mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
97 odzcl 15545 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
9844, 45, 96, 97syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
9998nnzd 11519 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
10059nnred 11073 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
10158simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
102 1mod 12742 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
103100, 101, 102syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
10471, 103eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
105 1zzd 11446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
106 moddvds 15038 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
10759, 75, 105, 106syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
108104, 107mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
109 peano2zm 11458 . . . . . . . . 9 ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
11075, 109syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
111 dvdstr 15065 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑁𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
11246, 60, 110, 111syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑁𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
11351, 108, 112mp2and 715 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
114 odzdvds 15547 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
11544, 45, 96, 73, 114syl31anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
116113, 115mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
11733nncnd 11074 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
11823nncnd 11074 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
119117, 118, 38divcan1d 10840 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
120116, 119breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
121 nprmdvds1 15465 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
12242, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
12320nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
124 iddvdsexp 15052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
125123, 21, 124syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
126 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
127123, 24, 34, 126syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
128125, 37, 127mp2and 715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
12920nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ≠ 0)
130 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
131123, 129, 34, 130syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
132128, 131mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
13373nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13433nnred 11073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
13520nnred 11073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
13620nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑄)
137 ge0div 10928 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
138134, 135, 136, 137syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
139133, 138mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
140 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
141132, 139, 140sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0)
142 zexpcl 12915 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
14345, 141, 142syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
144 peano2zm 11458 . . . . . . . . 9 ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
146 dvdsgcd 15308 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14746, 145, 60, 146syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14851, 147mpan2d 710 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
149 odzdvds 15547 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
15044, 45, 96, 141, 149syl31anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
15120nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
15221nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
153151, 129, 152expm1d 13058 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
154153oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
155134, 23nndivred 11107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
156155recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
157156, 118, 151, 129divassd 10874 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
158119oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
159154, 157, 1583eqtr2d 2691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
160159breq2d 4697 . . . . . . 7 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
161150, 160bitr4d 271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
162 pockthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
163162breq2d 4697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
164148, 161, 1633imtr3d 282 . . . . 5 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
165122, 164mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
166 prmpwdvds 15655 . . . 4 (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
16741, 99, 1, 21, 120, 165, 166syl222anc 1382 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
168 odzphi 15548 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
16944, 45, 96, 168syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
170 phiprm 15529 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
17142, 170syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
172169, 171breqtrd 4711 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
173 prmuz2 15455 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
17442, 173syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
175174, 55syl6eleq 2740 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
176 eluzp1m1 11749 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
17725, 175, 176sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
178177, 26syl6eleqr 2741 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
179178nnzd 11519 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
180 dvdstr 15065 . . . 4 (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶) ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
18124, 99, 179, 180syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶) ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
182167, 172, 181mp2and 715 . 2 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
183 pcdvdsb 15620 . . 3 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
1841, 179, 22, 183syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
185182, 184mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725   mod cmo 12708  cexp 12900  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432  odcodz 15515  ϕcphi 15516   pCnt cpc 15588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-odz 15517  df-phi 15518  df-pc 15589
This theorem is referenced by:  pockthg  15657
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