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Theorem pockthi 15818
Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 15817 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
pockthi.gt 𝐷 < (𝑃𝐸)
pockthi.mod ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 𝐷 ∈ ℕ
2 pockthi.p . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
3 prmnn 15595 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
5 pockthi.e . . . . . 6 𝐸 ∈ ℕ
65nnnn0i 11507 . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
7 nnexpcl 13080 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 672 . . . 4 (𝑃𝐸) ∈ ℕ
98a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
10 id 22 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11 pockthi.gt . . . 4 𝐷 < (𝑃𝐸)
1211a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃𝐸))
13 pockthi.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
151nncni 11236 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
168nncni 11236 . . . . . . . 8 (𝑃𝐸) ∈ ℂ
1715, 16mulcomi 10252 . . . . . . 7 (𝐷 · (𝑃𝐸)) = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1814, 17eqtri 2793 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1918oveq1i 6806 . . . . 5 (𝑀 + 1) = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2013, 19eqtri 2793 . . . 4 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1))
22 prmdvdsexpb 15635 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
232, 5, 22mp3an23 1564 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
2413eqcomi 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 + 1) = 𝑁
25 pockthi.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
26 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 ∈ ℕ
2726, 4nnmulcli 11250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
2825, 27eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ ℕ
29 peano2nn 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 + 1) ∈ ℕ
3113, 30eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ ℕ
3231nncni 11236 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℂ
33 ax-1cn 10200 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
3428nncni 11236 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℂ
3532, 33, 34subadd2i 10575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑁)
3624, 35mpbir 221 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = 𝑀
3736oveq2i 6807 . . . . . . . . 9 (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴𝑀)
3837oveq1i 6806 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴𝑀) mod 𝑁)
39 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
4031nnrei 11235 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
4128nngt0i 11260 . . . . . . . . . . . 12 0 < 𝑀
4228nnrei 11235 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℝ
43 1re 10245 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 ltaddpos2 10725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
4641, 45mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 1 < (𝑀 + 1)
4746, 13breqtrri 4814 . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
48 1mod 12910 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4940, 47, 48mp2an 672 . . . . . . . . 9 (1 mod 𝑁) = 1
5039, 49eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = 1
5138, 50eqtri 2793 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
52 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
5326nncni 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 ∈ ℂ
544nncni 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 ∈ ℂ
5553, 54mulcomi 10252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
5636, 25, 553eqtrri 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
5732, 33subcli 10563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
584nnne0i 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 ≠ 0
5957, 54, 53, 58divmuli 10985 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
6056, 59mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
6152, 60syl6eq 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
6261oveq2d 6812 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴𝐺))
6362oveq1d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴𝐺) − 1))
6463oveq1d 6811 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁))
65 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
6664, 65syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
67 pockthi.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ
6867nnzi 11608 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
69 oveq1 6803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
7069oveq1d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
7170eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
72 oveq1 6803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
7372oveq1d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
7473oveq1d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
7574eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7671, 75anbi12d 616 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7776rspcev 3460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7868, 77mpan 670 . . . . . . 7 ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7951, 66, 78sylancr 575 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8023, 79syl6bi 243 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
8180rgen 3071 . . . 4 𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8281a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
839, 10, 12, 21, 82pockthg 15817 . 2 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
841, 83ax-mp 5 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  0cn0 11499  cz 11584   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15189   gcd cgcd 15424  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-odz 15677  df-phi 15678  df-pc 15749
This theorem is referenced by:  1259prm  16050  2503prm  16054  4001prm  16059
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