Theorem pntsval 25482

Description: Define the "Selberg function", whose asymptotic behavior is the content of selberg 25458. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑛,𝐴   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6332	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘𝑛))
2		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (log‘𝑖) = (log‘𝑛))
3		oveq2 6801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑎 / 𝑖) = (𝑎 / 𝑛))
4	3	fveq2d 6336	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (ψ‘(𝑎 / 𝑖)) = (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))
5	2, 4	oveq12d 6811	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))) = ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))))
6	1, 5	oveq12d 6811	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))))
7	6	cbvsumv 14634	. . 3 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))))
8		fveq2 6332	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (⌊‘𝑎) = (⌊‘𝐴))
9	8	oveq2d 6809	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑎)) = (1...(⌊‘𝐴)))
10		fvoveq1 6816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ψ‘(𝑎 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))
11	10	oveq2d 6809	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛))) = ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛))))
12	11	oveq2d 6809	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
13	12	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
14	9, 13	sumeq12dv 14645	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑎 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
15	7, 14	syl5eq 2817	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
16		pntsval.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
17		sumex 14626	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 6424	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   / cdiv 10886  ...cfz 12533  ⌊cfl 12799  Σcsu 14624  logclog 24522  Λcvma 25039  ψcchp 25040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-sum 14625

This theorem is referenced by:  selbergs  25484  selbergsb  25485  pntsval2  25486