MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrlog2bndlem6a 25491
Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 25492. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6a ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a
StepHypRef Expression
1 elioore 12418 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 1rp 12049 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
54rpred 12085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 12446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
76adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
87simpld 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
95, 2, 8ltled 10397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
102, 4, 9rpgecld 12124 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
1411, 12, 13rpgecld 12124 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1610, 15rpdivcld 12102 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
1716rprege0d 12092 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18 flge0nn0 12835 . . . 4 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11544 . . . 4 ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 11936 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2849 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2316rpred 12085 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
2410rpge0d 12089 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
2513adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
264, 15, 2, 24, 25lediv2ad 12107 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
272recnd 10280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2827div1d 11005 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
2926, 28breqtrd 4830 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30 flword2 12828 . . 3 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
3123, 2, 29, 30syl3anc 1477 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32 fzsplit2 12579 . 2 ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
3322, 31, 32syl2anc 696 1 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cun 3713  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  +∞cpnf 10283   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cuz 11899  +crp 12045  (,)cioo 12388  ...cfz 12539  cfl 12805  abscabs 14193  Σcsu 14635  logclog 24521  Λcvma 25038  ψcchp 25039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-fz 12540  df-fl 12807
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  25492
  Copyright terms: Public domain W3C validator