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Theorem pntrlog2bnd 25493
Description: A bound on 𝑅(𝑥)log↑2(𝑥). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑅   𝑎,𝑐,𝑛,𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bnd
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 12439 . . 3 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
3 1red 10256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
42sselda 3750 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5 1rp 12038 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7 1red 10256 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8 eliooord 12437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
98adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
109simpld 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
117, 4, 10ltled 10386 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
124, 6, 11rpgecld 12113 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13 pntpbnd.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
1413pntrf 25472 . . . . . . . . 9 𝑅:ℝ+⟶ℝ
1514ffvelrni 6501 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
1716recnd 10269 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℂ)
1817abscld 14382 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
1912relogcld 24589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2018, 19remulcld 10271 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
21 2re 11291 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
234, 10rplogcld 24595 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2422, 23rerpdivcld 12105 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
25 fzfid 12979 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
2612adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27 elfznn 12576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2827adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2928nnrpd 12072 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3026, 29rpdivcld 12091 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3114ffvelrni 6501 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332recnd 10269 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
3433abscld 14382 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
3529relogcld 24589 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
3634, 35remulcld 10271 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
3725, 36fsumrecl 14672 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
3824, 37remulcld 10271 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
3920, 38resubcld 10659 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
4039, 12rerpdivcld 12105 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
4113pntrmax 25473 . . 3 𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐
42 eqid 2770 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))))) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
43 eqid 2770 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0)) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
44 simprl 746 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
45 simprr 748 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)
46 simpll 742 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 simplr 744 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 1 ≤ 𝐴)
4842, 13, 43, 44, 45, 46, 47pntrlog2bndlem6 25492 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
4948rexlimdvaa 3179 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
5041, 49mpi 20 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
51 simprl 746 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 chpcl 25070 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
5351, 52syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
5453, 51readdcld 10270 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
555a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
56 simprr 748 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
5751, 55, 56rpgecld 12113 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5857relogcld 24589 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
5954, 58remulcld 10271 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
6040adantr 466 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
6153ad2ant2r 733 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
62 simprll 756 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6361, 62readdcld 10270 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
6457ad2ant2r 733 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6564relogcld 24589 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6663, 65remulcld 10271 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
6712adantr 466 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6866, 67rerpdivcld 12105 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ∈ ℝ)
6916adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
7069recnd 10269 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅𝑥) ∈ ℂ)
7170abscld 14382 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
7267relogcld 24589 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7371, 72remulcld 10271 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
7424adantr 466 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
7537adantr 466 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10271 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
7773, 76resubcld 10659 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
7821a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
794adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8010adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 < 𝑥)
8179, 80rplogcld 24595 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
82 2rp 12039 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
8483rpge0d 12078 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 2)
8578, 81, 84divge0d 12114 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (2 / (log‘𝑥)))
86 fzfid 12979 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
8736adantlr 686 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
8833adantlr 686 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
8988abscld 14382 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
9029adantlr 686 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
9190relogcld 24589 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
9288absge0d 14390 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))
9390rpred 12074 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
9427adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9594nnge1d 11264 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 1 ≤ 𝑛)
9693, 95logge0d 24596 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (log‘𝑛))
9789, 91, 92, 96mulge0d 10805 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
9886, 87, 97fsumge0 14733 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
9974, 75, 85, 98mulge0d 10805 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
10073, 76subge02d 10820 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ↔ (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥))))
10199, 100mpbid 222 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)))
10270absge0d 14390 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (abs‘(𝑅𝑥)))
10381rpge0d 12078 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
104 chpcl 25070 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
10579, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
106105, 79readdcld 10270 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ∈ ℝ)
10713pntrval 25471 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
10867, 107syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
109108fveq2d 6336 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) = (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)))
110105recnd 10269 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
11179recnd 10269 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
112110, 111abs2dif2d 14404 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)))
113 chpge0 25072 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
11479, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
115105, 114absidd 14368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(ψ‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
11667rpge0d 12078 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑥)
11779, 116absidd 14368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
118115, 117oveq12d 6810 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
119112, 118breqtrd 4810 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
120109, 119eqbrtrd 4806 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
121 simprr 748 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
12279, 62, 121ltled 10386 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥𝑦)
123 chpwordi 25103 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
12479, 62, 122, 123syl3anc 1475 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
125105, 79, 61, 62, 124, 122le2addd 10847 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
12671, 106, 63, 120, 125letrd 10395 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
12767, 64logled 24593 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
128122, 127mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
12971, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128lemul12ad 11167 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
13077, 73, 66, 101, 129letrd 10395 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
13177, 66, 67, 130lediv1dd 12132 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥))
1325a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
133 chpge0 25072 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
13462, 133syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
13564rpge0d 12078 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
13661, 62, 134, 135addge0d 10804 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
137 simprlr 757 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
13862, 137logge0d 24596 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑦))
13963, 65, 136, 138mulge0d 10805 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
14011adantr 466 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
141132, 67, 66, 139, 140lediv2ad 12096 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1))
14261recnd 10269 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
14362recnd 10269 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
144142, 143addcld 10260 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℂ)
14565recnd 10269 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
146144, 145mulcld 10261 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
147146div1d 10994 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1) = (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
148141, 147breqtrd 4810 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
14960, 68, 66, 131, 148letrd 10395 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
1502, 3, 40, 50, 59, 149lo1bddrp 14463 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  wss 3721  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cmpt 4861  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  +∞cpnf 10272   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  +crp 12034  (,)cioo 12379  ...cfz 12532  cfl 12798  abscabs 14181  ≤𝑂(1)clo1 14425  Σcsu 14623  logclog 24521  Λcvma 25038  ψcchp 25039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-o1 14428  df-lo1 14429  df-sum 14624  df-ef 15003  df-e 15004  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-em 24939  df-cht 25043  df-vma 25044  df-chp 25045  df-ppi 25046  df-mu 25047
This theorem is referenced by:  pntlemp  25519
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