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Theorem pntpbnd2 25396
Description: Lemma for pntpbnd 25397. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑦,𝐾   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝑖,𝑎,𝑗,𝑦,𝐴   𝑦,𝐸   𝑖,𝑌,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2div2e1 11263 . . 3 (2 / 2) = 1
2 2re 11203 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 ioossre 12349 . . . . . 6 (0(,)1) ⊆ ℝ
5 pntpbnd1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
64, 5sseldi 3707 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 eliooord 12347 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
98simpld 477 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
106, 9elrpd 11983 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
11 2rp 11951 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
13 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐴 + 2)
1413oveq1i 6775 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) = ((𝐴 + 2) − 𝐴)
15 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1615rpcnd 11988 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
17 2cn 11204 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
18 pncan2 10401 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
1916, 17, 18sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 2) − 𝐴) = 2)
2014, 19syl5eq 2770 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐴) = 2)
2120oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = (2 / 𝐸))
22 rpaddcl 11968 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2315, 11, 22sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
2413, 23syl5eqel 2807 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpcnd 11988 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
266recnd 10181 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2710rpne0d 11991 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2825, 16, 26, 27divsubdird 10953 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶𝐴) / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
2921, 28eqtr3d 2760 . . . . 5 (𝜑 → (2 / 𝐸) = ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)))
3024, 10rpdivcld 12003 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3130rpred 11986 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3215rpred 11986 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332, 10rerpdivcld 12017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐸) ∈ ℝ)
34 resubcl 10458 . . . . . . . 8 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
3531, 2, 34sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ∈ ℝ)
36 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
3731reefcld 14938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 elicopnf 12383 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
4036, 39mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾))
4140simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
42 0red 10154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 1re 10152 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 10663 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 1)
47 efgt1 14966 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
4940simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
5044, 37, 41, 48, 49ltletrd 10310 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 𝐾)
5142, 44, 41, 46, 50lttrd 10311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐾)
5241, 51elrpd 11983 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
5352relogcld 24489 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
54 resubcl 10458 . . . . . . . 8 (((log‘𝐾) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5553, 2, 54sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ∈ ℝ)
5652reeflogd 24490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐾)) = 𝐾)
5749, 56breqtrrd 4788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾)))
58 efle 14968 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
5931, 53, 58syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾) ↔ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ (exp‘(log‘𝐾))))
6057, 59mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ≤ (log‘𝐾))
6131, 53, 3, 60lesub1dd 10756 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ ((log‘𝐾) − 2))
62 fzfid 12887 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
63 ioossre 12349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
64 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
6563, 64sseldi 3707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
66 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
67 rerpdivcl 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
682, 10, 67sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
6968reefcld 14938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7066, 69syl5eqel 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
71 efgt0 14953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
7372, 66syl6breqr 4802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑋)
7470rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
75 elioopnf 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
7764, 76mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
7877simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 < 𝑌)
7942, 70, 65, 73, 78lttrd 10311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑌)
8042, 65, 79ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
81 flge0nn0 12736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
8265, 80, 81syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
83 nn0p1nn 11445 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
85 elfzuz 12452 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
86 eluznn 11872 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8784, 85, 86syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8887peano2nnd 11150 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8988nnrecred 11179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9062, 89fsumrecl 14585 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
9153recnd 10181 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
92 2cnd 11206 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9365, 79elrpd 11983 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
9493relogcld 24489 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
9594recnd 10181 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
9691, 92, 95pnpcan2d 10543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) = ((log‘𝐾) − 2))
9752, 93relogmuld 24491 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) = ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)))
9853, 94readdcld 10182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
9997, 98eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℝ)
100 fzfid 12887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
101 elfznn0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
102101adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
103 nn0p1nn 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnrecred 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
106100, 105fsumrecl 14585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
107106, 90readdcld 10182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
108 readdcl 10132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
1092, 94, 108sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
110109, 90readdcld 10182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
11141, 65remulcld 10183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
11265recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
113112mulid2d 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
11444, 41, 50ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
115 lemul1 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
11644, 41, 65, 79, 115syl112anc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌)))
117114, 116mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝑌) ≤ (𝐾 · 𝑌))
118113, 117eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
11942, 65, 111, 80, 118letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝑌))
120 flge0nn0 12736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
121111, 119, 120syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0)
122 nn0p1nn 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ)
124123nnrpd 11984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℝ+)
125124relogcld 24489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ∈ ℝ)
126 1zzd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
127111flcld 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
128127peano2zd 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℤ)
129 elfznn 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
131 nnrecre 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
132131recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
134 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 + 1)))
135126, 126, 128, 133, 134fsumshftm 14633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
136 1m1e0 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 1) = 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
138127zcnd 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ)
139 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
140 pncan 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
141138, 139, 140sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
142137, 141oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
143142sumeq1d 14551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
144 reflcl 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
14565, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
146145ltp1d 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
147 fzdisj 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...(⌊‘𝑌)) ∩ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) = ∅)
149 flwordi 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
15065, 111, 118, 149syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
151 elfz2nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘𝑌) ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
15282, 121, 150, 151syl3anbrc 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
153 fzsplit 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑌) ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) = ((0...(⌊‘𝑌)) ∪ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
155 fzfid 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
156 elfznn0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
157156adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
158157, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
159158nnrecred 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
160159recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
161148, 154, 155, 160fsumsplit 14591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
162135, 143, 1613eqtrd 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) = (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
163162, 107eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
164 fllep1 12717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
165111, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))
16652, 93rpmulcld 12002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ+)
167166, 124logled 24493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑌) ≤ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ↔ (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
168165, 167mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)))
169 emre 24852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 γ ∈ ℝ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ∈ ℝ)
171163, 125resubcld 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ)
172 0re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
173 emgt0 24853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < γ
174172, 169, 173ltleii 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ γ
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ γ)
176 harmonicbnd 24850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
177123, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1))
178169, 43elicc2i 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ≤ 1))
179178simp2bi 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
18142, 170, 171, 175, 180letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))))
182163, 125subge0d 10730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘)))
183181, 182mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (log‘((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
18499, 125, 163, 168, 183letrd 10307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) + 1))(1 / 𝑘))
185184, 162breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
18665flcld 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
187186peano2zd 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
188 elfznn 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
189188adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
190189, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
191126, 126, 187, 190, 134fsumshftm 14633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)))
192145recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℂ)
193 pncan 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
194192, 139, 193sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) − 1) = (⌊‘𝑌))
195137, 194oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1)) = (0...(⌊‘𝑌)))
196195sumeq1d 14551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ((1 − 1)...(((⌊‘𝑌) + 1) − 1))(1 / (𝑛 + 1)) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
197191, 196eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) = Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)))
198197, 106eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ∈ ℝ)
19984nnrpd 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+)
200199relogcld 24489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
201 readdcl 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ) → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
20243, 200, 201sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ)
203 harmonicbnd 24850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
20484, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1))
205169, 43elicc2i 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∧ (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1))
206205simp3bi 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
207204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1)
208198, 200, 44lesubaddd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) − (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1)))))
209207, 208mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))))
210 readdcl 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑌) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
21143, 94, 210sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (log‘𝑌)) ∈ ℝ)
212 peano2re 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
213145, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
2143, 65remulcld 10183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ∈ ℝ)
215 epr 15056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e ∈ ℝ+
216 rpmulcl 11969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
217215, 93, 216sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ+)
218217rpred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (e · 𝑌) ∈ ℝ)
219 flle 12715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22065, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ≤ 𝑌)
22112, 10rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
222 efgt1 14966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 1 < (exp‘(2 / 𝐸)))
224223, 66syl6breqr 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < 𝑋)
22544, 70, 65, 224, 78lttrd 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑌)
22644, 65, 225ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
227145, 44, 65, 65, 220, 226le2addd 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (𝑌 + 𝑌))
2281122timesd 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
229227, 228breqtrrd 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (2 · 𝑌))
230 ere 14939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ
231 egt2lt3 15054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
232231simpli 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
2332, 230, 232ltleii 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≤ e
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≤ e)
235230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → e ∈ ℝ)
236 lemul1 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
2373, 235, 65, 79, 236syl112anc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌)))
238234, 237mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · 𝑌) ≤ (e · 𝑌))
239213, 214, 218, 229, 238letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌))
240199, 217logled 24493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (e · 𝑌) ↔ (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌))))
241239, 240mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑌)))
242 relogmul 24458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((e ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
243215, 93, 242sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = ((log‘e) + (log‘𝑌)))
244 loge 24453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (log‘e) = 1
245244oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((log‘e) + (log‘𝑌)) = (1 + (log‘𝑌))
246243, 245syl6eq 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘(e · 𝑌)) = (1 + (log‘𝑌)))
247241, 246breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (log‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑌)))
248200, 211, 44, 247leadd2dd 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (1 + (1 + (log‘𝑌))))
249 df-2 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 = (1 + 1)
250249oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + (log‘𝑌)) = ((1 + 1) + (log‘𝑌))
251139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
252251, 251, 95addassd 10175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 1) + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
253250, 252syl5eq 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 + (log‘𝑌)) = (1 + (1 + (log‘𝑌))))
254248, 253breqtrrd 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + (log‘((⌊‘𝑌) + 1))) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
255198, 202, 109, 209, 254letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((⌊‘𝑌) + 1))(1 / 𝑘) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
256197, 255eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (2 + (log‘𝑌)))
257106, 109, 90, 256leadd1dd 10754 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(⌊‘𝑌))(1 / (𝑛 + 1)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25899, 107, 110, 185, 257letrd 10307 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐾 · 𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
25997, 258eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))))
26098, 109, 90lesubadd2d 10739 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ↔ ((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) ≤ ((2 + (log‘𝑌)) + Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))))
261259, 260mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝐾) + (log‘𝑌)) − (2 + (log‘𝑌))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26296, 261eqbrtrrd 4784 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)))
26389recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
26462, 26, 263fsummulc2 14636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
2656adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℝ)
266265recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ∈ ℂ)
26788nncnd 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
26888nnne0d 11178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
269266, 267, 268divrecd 10917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) = (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))))
270265, 88nndivred 11182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
271269, 270eqeltrrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27262, 271fsumrecl 14585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
27387nnrpd 11984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
274 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
275274pntrf 25372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅:ℝ+⟶ℝ
276275ffvelrni 6473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
277273, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
27887, 88nnmulcld 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
279277, 278nndivred 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
280279recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
281280abscld 14295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28262, 281fsumrecl 14585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
283277, 87nndivred 11182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
284283recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
285284abscld 14295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28688nnrpd 11984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
287 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
288287adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
289 elfzle1 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
290289adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛)
29165adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 ∈ ℝ)
292291flcld 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
29387nnzd 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
294 zltp1le 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
295292, 293, 294syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑛 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑛))
296290, 295mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑛)
297 fllt 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
298291, 293, 297syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑛 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑛))
299296, 298mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑛)
300 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
301300adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
302111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
303 flge 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
304302, 293, 303syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
305301, 304mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))
306 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑛))
307 breq1 4763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
308306, 307anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
309 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑛))
310 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
311309, 310oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅𝑦) / 𝑦) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
312311fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
313312breq1d 4770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸))
314308, 313anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑛 → (((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)))
315314rspcev 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
316315expr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑌 < 𝑛𝑛 ≤ (𝐾 · 𝑌))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
31787, 299, 305, 316syl12anc 1437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸 → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸)))
318288, 317mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸)
319285, 265letrid 10302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
320319ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛))))
321318, 320mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝐸 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
322265, 285, 286, 321lediv1dd 12044 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 / (𝑛 + 1)) ≤ ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
323284, 267, 268absdivd 14314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))))
324277recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
32587nncnd 11149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
32687nnne0d 11178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ≠ 0)
327324, 325, 267, 326, 268divdiv1d 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
328327fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(((𝑅𝑛) / 𝑛) / (𝑛 + 1))) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
329286rprege0d 11993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)))
330 absid 14156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 + 1)) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘(𝑛 + 1)) = (𝑛 + 1))
332331oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (abs‘(𝑛 + 1))) = ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)))
333323, 328, 3323eqtr3rd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) / (𝑛 + 1)) = (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
334322, 269, 3333brtr3d 4791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
33562, 271, 281, 334fsumle 14651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
337274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287pntpbnd1 25395 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338272, 282, 32, 335, 337letrd 10307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝐸 · (1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
339264, 338eqbrtrd 4782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴)
34090, 32, 10lemuldiv2d 12036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1))) ≤ 𝐴 ↔ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸)))
341339, 340mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(1 / (𝑛 + 1)) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34255, 90, 33, 262, 341letrd 10307 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34335, 55, 33, 61, 342letrd 10307 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − 2) ≤ (𝐴 / 𝐸))
34431, 3, 33, 343subled 10743 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐸) − (𝐴 / 𝐸)) ≤ 2)
34529, 344eqbrtrd 4782 . . . 4 (𝜑 → (2 / 𝐸) ≤ 2)
3463, 10, 12, 345lediv23d 12052 . . 3 (𝜑 → (2 / 2) ≤ 𝐸)
3471, 346syl5eqbrr 4796 . 2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐸)
3488simprd 482 . . 3 (𝜑𝐸 < 1)
349 ltnle 10230 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
3506, 43, 349sylancl 697 . . 3 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝐸))
351348, 350mpbid 222 . 2 (𝜑 → ¬ 1 ≤ 𝐸)
352347, 351pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  cun 3678  cin 3679  c0 4023   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  +crp 11946  (,)cioo 12289  [,)cico 12291  [,]cicc 12292  ...cfz 12440  cfl 12706  abscabs 14094  Σcsu 14536  expce 14912  eceu 14913  logclog 24421  γcem 24838  ψcchp 24939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-e 14919  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509  df-pc 15665  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-em 24839  df-vma 24944  df-chp 24945
This theorem is referenced by:  pntpbnd  25397
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