Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 25208
 Description: Lemma for pntpbnd 25211. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntpbnd1a.2 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
pntpbnd1a.3 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 11830 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
43pntrf 25186 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6324 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 11863 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 10028 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
98abscld 14125 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 24307 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 11863 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 12193 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sseldi 3586 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 10028 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
161nnred 10995 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 10028 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
181nnne0d 11025 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1915, 17, 18absdivd 14144 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)))
201nnnn0d 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 11314 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
2216, 21absidd 14111 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2515abscld 14125 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 10997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27 vmacl 24778 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 10308 . . . . . . . 8 ((Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3130recnd 10028 . . . . . 6 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3231abscld 14125 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
3426nnrpd 11830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 25185 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
373pntrval 25185 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
3936, 38oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
40 peano2re 10169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 24784 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 10028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
4541recnd 10028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
46 chpcl 24784 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4847recnd 10028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
4944, 45, 48, 17sub4d 10401 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)))
50 chpp1 24815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5251oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))) − (ψ‘𝑁)))
5328recnd 10028 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5448, 53pncan2d 10354 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
5552, 54eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
56 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
57 pncan2 10248 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5817, 56, 57sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5955, 58oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
6039, 49, 593eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
6160fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))) = (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
6233, 61breqtrd 4649 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
63 1red 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6463, 10resubcld 10418 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
65 0red 10001 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66 2re 11050 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
67 eliooord 12191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6813, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6968simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
7014, 69elrpd 11829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
71 rerpdivcl 11821 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7266, 70, 71sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7366a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74 1lt2 11154 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
76 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
7776div1i 10713 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7868simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < 1)
79 0lt1 10510 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
81 2pos 11072 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
83 ltdiv2 10869 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8414, 69, 63, 80, 73, 82, 83syl222anc 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8578, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8677, 85syl5eqbrr 4659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 < (2 / 𝐸))
8763, 73, 72, 75, 86lttrd 10158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (2 / 𝐸))
88 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
8972rpefcld 14779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
9088, 89syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
9190rpred 11832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
92 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
9390rpxrd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
94 elioopnf 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9692, 95mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
9796simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9896simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 < 𝑌)
99 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
10099simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < 𝑁)
10191, 97, 16, 98, 100lttrd 10158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < 𝑁)
10288, 101syl5eqbrr 4659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1032reeflogd 24308 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
104102, 103breqtrrd 4651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁)))
105 eflt 14791 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
10672, 10, 105syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
107104, 106mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) < (log‘𝑁))
10863, 72, 10, 87, 107lttrd 10158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (log‘𝑁))
10963, 10, 108ltled 10145 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (log‘𝑁))
110 1re 9999 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
111 suble0 10502 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
112110, 10, 111sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
113109, 112mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ 0)
114 vmage0 24781 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11526, 114syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11664, 65, 28, 113, 115letrd 10154 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11734relogcld 24307 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
118 readdcl 9979 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
119110, 10, 118sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
120 vmalelog 24864 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12126, 120syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12273, 16remulcld 10030 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
123 epr 14880 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
124 rpmulcl 11815 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
125123, 2, 124sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
126125rpred 11832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ)
1271nnge1d 11023 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
12863, 16, 16, 127leadd2dd 10602 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
129172timesd 11235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
130128, 129breqtrrd 4651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
131 ere 14763 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
132 egt2lt3 14878 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
133132simpli 474 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13466, 131, 133ltleii 10120 . . . . . . . . . . . 12 2 ≤ e
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ e)
136131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ∈ ℝ)
1371nngt0d 11024 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
138 lemul1 10835 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
13973, 136, 16, 137, 138syl112anc 1327 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
140135, 139mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁))
14141, 122, 126, 130, 140letrd 10154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁))
14234, 125logled 24311 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁) ↔ (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁))))
143141, 142mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁)))
144 relogmul 24276 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
145123, 2, 144sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
146 loge 24271 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
147146oveq1i 6625 . . . . . . . . 9 ((log‘e) + (log‘𝑁)) = (1 + (log‘𝑁))
148145, 147syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = (1 + (log‘𝑁)))
149143, 148breqtrd 4649 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
15028, 117, 119, 121, 149letrd 10154 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
15128, 63, 10absdifled 14123 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁) ↔ ((1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)) ∧ (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))))
152116, 150, 151mpbir2and 956 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁))
15325, 32, 10, 62, 152letrd 10154 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
15425, 10, 2, 153lediv1dd 11890 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15524, 154eqbrtrd 4645 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15690relogcld 24307 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
157156, 90rerpdivcld 11863 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) ∈ ℝ)
15863, 72, 87ltled 10145 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (2 / 𝐸))
159 efle 14792 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
160110, 72, 159sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
161158, 160mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸)))
162 df-e 14743 . . . . . . 7 e = (exp‘1)
163161, 162, 883brtr4g 4657 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑋)
164146, 109syl5eqbr 4658 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘e) ≤ (log‘𝑁))
165 logleb 24287 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
166123, 2, 165sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
167164, 166mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑁)
168 logdivlt 24305 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑁)) → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16991, 163, 16, 167, 168syl22anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
170101, 169mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋))
17188fveq2i 6161 . . . . . . 7 (log‘𝑋) = (log‘(exp‘(2 / 𝐸)))
17272relogefd 24312 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(exp‘(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
173171, 172syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) = (2 / 𝐸))
174173oveq1d 6630 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
175 2rp 11797 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
176 rpdivcl 11816 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
177175, 70, 176sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
178177rpcnd 11834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℂ)
179178sqvald 12961 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)))
180 2cnd 11053 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
18170rpcnne0d 11841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
182 div12 10667 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183178, 180, 181, 182syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
184179, 183eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
185184oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
186177, 70rpdivcld 11849 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
187186rpcnd 11834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℂ)
188 2ne0 11073 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
189188a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
190187, 180, 189divcan3d 10766 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
191185, 190eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19272resqcld 12991 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
193192rehalfcld 11239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
194 1rp 11796 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
195 rpaddcl 11814 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
196194, 177, 195sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
197196rpred 11832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
198197, 193readdcld 10029 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
199193, 196ltaddrp2d 11866 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
200 efgt1p2 14788 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
201177, 200syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
202201, 88syl6breqr 4665 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
203193, 198, 91, 199, 202lttrd 10158 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
204191, 203eqbrtrrd 4647 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20572, 70, 90, 204ltdiv23d 11897 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
206174, 205eqbrtrd 4645 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) < 𝐸)
20711, 157, 14, 170, 206lttrd 10158 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < 𝐸)
20811, 14, 207ltled 10145 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ≤ 𝐸)
2099, 11, 14, 155, 208letrd 10154 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  ℝ*cxr 10033   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226   / cdiv 10644  ℕcn 10980  2c2 11030  3c3 11031  ℕ0cn0 11252  ℝ+crp 11792  (,)cioo 12133  ↑cexp 12816  abscabs 13924  expce 14736  eceu 14737  logclog 24239  Λcvma 24752  ψcchp 24753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-e 14743  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-pc 15485  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-vma 24758  df-chp 24759 This theorem is referenced by:  pntpbnd1  25209
 Copyright terms: Public domain W3C validator