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Theorem pntlemj 25412
Description: Lemma for pnt 25423. The induction step. Using pntibnd 25402, we find an interval in 𝐾𝐽...𝐾↑(𝐽 + 1) which is sufficiently large and has a much smaller value, 𝑅(𝑧) / 𝑧𝐸 (instead of our original bound 𝑅(𝑧) / 𝑧𝑈). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemj (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑛,𝐼   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑛,𝑉,𝑢   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemj
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . 7 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 25404 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1211simp3d 1136 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1312simp3d 1136 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
141, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 25403 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
1514simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1611simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1715, 16rpmulcld 12002 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
18 8nn 11304 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
19 nnrp 11956 . . . . . . 7 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 8 ∈ ℝ+
21 rpdivcl 11970 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
2217, 20, 21sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
23 pntlem1.y . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
25 pntlem1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
26 pntlem1.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
27 pntlem1.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27pntlemb 25406 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
2928simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
3029rpred 11986 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
3128simp2d 1135 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
3231simp1d 1134 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑍)
3330, 32rplogcld 24495 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
3422, 33rpmulcld 12002 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ+)
3513, 34rpmulcld 12002 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ+)
3635rpred 11986 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
37 pntlem1.i . . . . . 6 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
38 fzfid 12887 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
3937, 38syl5eqel 2807 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
40 hashcl 13260 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
4241nn0red 11465 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
4313rpred 11986 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
44 pntlem1.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
4529, 44rpdivcld 12003 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
4645relogcld 24489 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
4746, 45rerpdivcld 12017 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
4843, 47remulcld 10183 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
4942, 48remulcld 10183 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ∈ ℝ)
50 pntlem1.o . . . 4 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
51 fzfid 12887 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) ∈ Fin)
5250, 51syl5eqel 2807 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
537rpred 11986 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5453adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑈 ∈ ℝ)
5511simp2d 1135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
56 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
57 elfzoelz 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5958peano2zd 11598 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
6055, 59rpexpcld 13147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
6129, 60rpdivcld 12003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
6261rprege0d 11993 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))))
63 flge0nn0 12736 . . . . . . . 8 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ0)
64 nn0p1nn 11445 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
66 elfzuz 12452 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
6766, 50eleq2s 2821 . . . . . . 7 (𝑛𝑂𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
68 eluznn 11872 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6965, 67, 68syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℕ)
7054, 69nndivred 11182 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
7129adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7269nnrpd 11984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7371, 72rpdivcld 12003 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+)
741pntrf 25372 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
7574ffvelrni 6473 . . . . . . . . 9 ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7776, 71rerpdivcld 12017 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
7877recnd 10181 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
7978abscld 14295 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑂) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
8070, 79resubcld 10571 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
8172relogcld 24489 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8280, 81remulcld 10183 . . 3 ((𝜑𝑛𝑂) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
8352, 82fsumrecl 14585 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
84 pntlem1.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
85 pntlem1.n . . 3 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
86 pntlem1.U . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
87 pntlem1.K . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
88 pntlem1.V . . 3 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
891, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemr 25411 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
9048recnd 10181 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
91 fsumconst 14642 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
9239, 90, 91syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
931, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemq 25410 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑂)
9490ralrimivw 3069 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
9552olcd 407 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin))
96 sumss2 14577 . . . . 5 (((𝐼𝑂 ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) ∧ (𝑂 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin)) → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9793, 94, 95, 96syl21anc 1438 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9892, 97eqtr3d 2760 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9948adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
10099adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
101 0red 10154 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ ¬ 𝑛𝐼) → 0 ∈ ℝ)
102100, 101ifclda 4228 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ∈ ℝ)
103 breq1 4763 . . . . 5 (((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
104 breq1 4763 . . . . 5 (0 = if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
10513rpregt0d 11992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸)))
106105adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸)))
107106simpld 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
108 1rp 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
109 rpaddcl 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
110108, 17, 109sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
111110, 44rpmulcld 12002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
11229, 111rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
113112rprege0d 11993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
114 flge0nn0 12736 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ0)
115 nn0p1nn 11445 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
116113, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
117 elfzuz 12452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
118117, 37eleq2s 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐼𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
119 eluznn 11872 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
120116, 118, 119syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℕ)
121120nnrpd 11984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ+)
122121relogcld 24489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
123122, 120nndivred 11182 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
124107, 123remulcld 10183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
12593sselda 3709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛𝑂)
126125, 82syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
127 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛𝐼)
128127, 37syl6eleq 2813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
129 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
13145rpred 11986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
132131adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
133 elfzelz 12456 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ ℤ)
134128, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℤ)
135 flge 12721 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
136132, 134, 135syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
137130, 136mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉))
138120nnred 11148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ)
139 ere 14939 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
140139a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → e ∈ ℝ)
141112rpred 11986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
142141adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
143139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → e ∈ ℝ)
14429rpsqrtcld 14270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
145144rpred 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
14631simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
147111rpred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
14860rpred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
14988simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
150149simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
15155rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
15255, 58rpexpcld 13147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
153152rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
154151, 153mulcomd 10174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
1551, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemg 25407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
156155simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
157 elfzouz 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
15856, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
159 eluznn 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
160156, 158, 159syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
161160nnnn0d 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
162151, 161expp1d 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
163154, 162eqtr4d 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
164150, 163breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
165147, 148, 164ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
166 fzofzp1 12680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
16756, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 25408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
169167, 168mpdan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
170169simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
171147, 148, 145, 165, 170letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
172147, 145, 144lemul2d 12030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
173171, 172mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
17429rprege0d 11993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
175 remsqsqrt 14117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
177173, 176breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
178145, 30, 111lemuldivd 12035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
179177, 178mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
180143, 145, 141, 146, 179letrd 10307 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
181180adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
182 reflcl 12712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
183 peano2re 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
184141, 182, 1833syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
185184adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
186 fllep1 12717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
187142, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
188 elfzle1 12458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
189128, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
190142, 185, 138, 187, 189letrd 10307 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛)
191140, 142, 138, 181, 190letrd 10307 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ 𝑛)
192140, 138, 132, 191, 137letrd 10307 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ (𝑍 / 𝑉))
193 logdivle 24488 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑍 / 𝑉))) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
194138, 191, 132, 192, 193syl22anc 1440 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
195137, 194mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
19647adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
197 lemul2 10989 . . . . . . . . 9 ((((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸))) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
198196, 123, 106, 197syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
199195, 198mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
20013rpcnd 11988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
201200adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
202122recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
203121rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
204 div23 10817 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
205201, 202, 203, 204syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
206 divass 10816 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
207201, 202, 203, 206syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
208205, 207eqtr3d 2760 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
20943adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
210209, 120nndivred 11182 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) ∈ ℝ)
211125, 80syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
212 log1 24452 . . . . . . . . . 10 (log‘1) = 0
213120nnge1d 11176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ≤ 𝑛)
214 logleb 24469 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
215108, 121, 214sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
216213, 215mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
217212, 216syl5eqbrr 4796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ≤ (log‘𝑛))
2187rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
219218adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑈 ∈ ℂ)
22016rpred 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
221220adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
222221recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐸 ∈ ℂ)
223 divsubdir 10834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
224219, 222, 203, 223syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
225125, 79syldan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
226221, 120nndivred 11182 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝐸 / 𝑛) ∈ ℝ)
227125, 70syldan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
228125, 76syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
229228recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
23029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ+)
231230rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
232 divdiv2 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
233229, 231, 203, 232syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
234121rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℂ)
235 div23 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
236229, 234, 231, 235syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
237233, 236eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
238237fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)))
239125, 78syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
240239, 234absmuld 14313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)))
241121rprege0d 11993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
242 absid 14156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
244243oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
245238, 240, 2443eqtrd 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
24630adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ)
247246, 120nndivred 11182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ)
24844rpregt0d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
249248adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
250 lemuldiv2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉)) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
251138, 246, 249, 250syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
252137, 251mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍)
253249simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
254253, 246, 121lemuldivd 12035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛)))
255252, 254mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛))
256111rpregt0d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
257256adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
258121rpregt0d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
259 lediv23 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
260246, 257, 258, 259syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
261190, 260mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
26244rpred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
263262adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
264147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
265 elicc2 12352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
266263, 264, 265syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
267247, 255, 261, 266mpbir3and 1382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
26888simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
269268adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
270 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (𝑅𝑢) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
271 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → 𝑢 = (𝑍 / 𝑛))
272270, 271oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)))
273272fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))))
274273breq1d 4770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
275274rspcv 3409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) → (∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
276267, 269, 275sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸)
277245, 276eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸)
278225, 221, 121lemuldivd 12035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛)))
279277, 278mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛))
280225, 226, 227, 279lesub2dd 10757 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
281224, 280eqbrtrd 4782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
282210, 211, 122, 217, 281lemul1ad 11076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
283208, 282eqbrtrrd 4784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
28499, 124, 126, 199, 283letrd 10307 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
285284adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
28669nnred 11148 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ)
28729, 152rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
288287rpred 11986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
289288adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
29023simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
29129, 290rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ+)
292291rpred 11986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
293292adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
294 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛𝑂)
295294, 50syl6eleq 2813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
296 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
297295, 296syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
29869nnzd 11594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℤ)
299 flge 12721 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
300289, 298, 299syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
301297, 300mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
302290rpred 11986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
30324simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
304303rpred 11986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
305152rpred 11986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
30624simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < 𝑋)
307302, 304, 306ltled 10298 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑋)
308 elfzofz 12600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
30956, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
3101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 25408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
311309, 310mpdan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
312311simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < (𝐾𝐽))
313304, 305, 312ltled 10298 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≤ (𝐾𝐽))
314302, 304, 305, 307, 313letrd 10307 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾𝐽))
315290, 152, 29lediv2d 12010 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐾𝐽) ↔ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
316314, 315mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
317316adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
318286, 289, 293, 301, 317letrd 10307 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))
31969, 318jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
3201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86pntlemn 25409 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
321319, 320syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
322321adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ ¬ 𝑛𝐼) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
323103, 104, 285, 322ifbothda 4231 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32452, 102, 82, 323fsumle 14651 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32598, 324eqbrtrd 4782 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32636, 49, 83, 89, 325letrd 10307 1 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  wss 3680  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  4c4 11185  8c8 11189  0cn0 11405  cz 11490  cdc 11606  cuz 11800  +crp 11946  (,)cioo 12289  [,)cico 12291  [,]cicc 12292  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  cfl 12706  cexp 12975  chash 13232  csqrt 14093  abscabs 14094  Σcsu 14536  expce 14912  eceu 14913  logclog 24421  ψcchp 24939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-e 14919  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509  df-pc 15665  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-vma 24944  df-chp 24945
This theorem is referenced by:  pntlemi  25413
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