MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemd 25504
Description: Lemma for pnt 25524. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c1, 𝐿 is λ, 𝐷 is c2, and 𝐹 is c3. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
pntlemd (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd
StepHypRef Expression
1 ioossre 12440 . . . 4 (0(,)1) ⊆ ℝ
2 pntlem1.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
31, 2sseldi 3750 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4 eliooord 12438 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
65simpld 482 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐿)
73, 6elrpd 12072 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.d . . 3 𝐷 = (𝐴 + 1)
9 pntlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 1rp 12039 . . . 4 1 ∈ ℝ+
11 rpaddcl 12057 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
129, 10, 11sylancl 574 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
138, 12syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.f . . 3 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15 1re 10245 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
16 ltaddrp 12070 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
1715, 9, 16sylancr 575 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
189rpcnd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
19 ax-1cn 10200 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
20 addcom 10428 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
2118, 19, 20sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
228, 21syl5eq 2817 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
2317, 22breqtrrd 4815 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝐷)
2413recgt1d 12089 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
2523, 24mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
2613rprecred 12086 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27 difrp 12071 . . . . . 6 (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2826, 15, 27sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
2925, 28mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30 3nn0 11517 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
31 2nn 11392 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 11725 . . . . . . . 8 32 ∈ ℕ
33 nnrp 12045 . . . . . . . 8 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 32 ∈ ℝ+
35 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
36 rpmulcl 12058 . . . . . . 7 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
3734, 35, 36sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
387, 37rpdivcld 12092 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39 2z 11616 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
40 rpexpcl 13086 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4113, 39, 40sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
4238, 41rpdivcld 12092 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
4329, 42rpmulcld 12091 . . 3 (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
4414, 43syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
457, 13, 443jca 1122 1 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  3c3 11277  cz 11584  cdc 11700  +crp 12035  (,)cioo 12380  cexp 13067  ψcchp 25040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  pntlemc  25505  pntlema  25506  pntlemb  25507  pntlemq  25511  pntlemr  25512  pntlemj  25513  pntlemf  25515  pntlemo  25517  pntleml  25521
  Copyright terms: Public domain W3C validator