Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemc 25505
 Description: Lemma for pnt 25524. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑈 is α, 𝐸 is ε, and 𝐾 is K. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntlemc (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntlemc
StepHypRef Expression
1 pntlem1.e . . 3 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
2 pntlem1.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.r . . . . . 6 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
4 pntlem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlem1.l . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlem1.f . . . . . 6 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
93, 4, 5, 6, 7, 8pntlemd 25504 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp2d 1137 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
112, 10rpdivcld 12092 . . 3 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) ∈ ℝ+)
121, 11syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
13 pntlem1.k . . 3 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
145, 12rpdivcld 12092 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+)
1514rpred 12075 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ)
1615rpefcld 15041 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐵 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
1713, 16syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1812rpred 12075 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1912rpgt0d 12078 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝐸)
202rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
214rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2210rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
23 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
2421ltp1d 11160 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2524, 7syl6breqr 4829 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐷)
2620, 21, 22, 23, 25lelttrd 10401 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 < 𝐷)
2710rpcnd 12077 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2827mulid1d 10263 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · 1) = 𝐷)
2926, 28breqtrrd 4815 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐷 · 1))
30 1red 10261 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3120, 30, 10ltdivmuld 12126 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 / 𝐷) < 1 ↔ 𝑈 < (𝐷 · 1)))
3229, 31mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 1)
331, 32syl5eqbr 4822 . . . 4 (𝜑𝐸 < 1)
34 0xr 10292 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
35 1re 10245 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3635rexri 10303 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
37 elioo2 12421 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1)))
3834, 36, 37mp2an 672 . . . 4 (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1))
3918, 19, 33, 38syl3anbrc 1428 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
40 efgt1 15052 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4114, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4241, 13syl6breqr 4829 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝐾)
43 ltaddrp 12070 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
4435, 4, 43sylancr 575 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
452rpcnne0d 12084 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
46 divid 10920 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 / 𝑈) = 1)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) = 1)
484rpcnd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 10200 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
50 addcom 10428 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
5148, 49, 50sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
527, 51syl5eq 2817 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
5344, 47, 523brtr4d 4819 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) < 𝐷)
5420, 2, 10, 53ltdiv23d 12142 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 𝑈)
551, 54syl5eqbr 4822 . . . 4 (𝜑𝐸 < 𝑈)
56 difrp 12071 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5718, 20, 56syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5855, 57mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
5939, 42, 583jca 1122 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6012, 17, 593jca 1122 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  ℝ*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281   − cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  3c3 11277  ;cdc 11700  ℝ+crp 12035  (,)cioo 12380  ↑cexp 13067  expce 14998  ψcchp 25040 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004 This theorem is referenced by:  pntlema  25506  pntlemb  25507  pntlemg  25508  pntlemh  25509  pntlemq  25511  pntlemr  25512  pntlemj  25513  pntlemi  25514  pntlemf  25515  pntlemo  25517  pntleme  25518  pntlemp  25520
 Copyright terms: Public domain W3C validator