Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemb 25506
 Description: Lemma for pnt 25523. Unpack all the lower bounds contained in 𝑊, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑍 is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
pntlemb (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3 pntlem1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
6 pntlem1.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐴 + 1)
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
8 pntlem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
10 pntlem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
12 pntlem1.y . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
13 pntlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
14 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 25505 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1716rpred 12085 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
18 pnfxr 10304 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 elico2 12450 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
2017, 18, 19sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞)))
211, 20mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑊𝑍𝑍 < +∞))
2221simp1d 1137 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2321simp2d 1138 . . 3 (𝜑𝑊𝑍)
2422, 16, 23rpgecld 12124 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
25 1re 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 ere 15038 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℝ)
2924rpsqrtcld 14369 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
3029rpred 12085 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
31 1lt2 11406 . . . . . . . 8 1 < 2
32 egt2lt3 15153 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
3332simpli 476 . . . . . . . 8 2 < e
34 2re 11302 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3525, 34, 27lttri 10375 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
3631, 33, 35mp2an 710 . . . . . . 7 1 < e
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < e)
38 4re 11309 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
4032simpri 481 . . . . . . . . 9 e < 3
41 3lt4 11409 . . . . . . . . 9 3 < 4
42 3re 11306 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
4327, 42, 38lttri 10375 . . . . . . . . 9 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
4440, 41, 43mp2an 710 . . . . . . . 8 e < 4
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → e < 4)
46 4nn 11399 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
47 nnrp 12055 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 25503 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
5049simp1d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 25504 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
5251simp1d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5350, 52rpmulcld 12101 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
54 rpdivcl 12069 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5548, 53, 54sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
5655rpred 12085 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
5753rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
5852rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5950rpred 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
60 eliooord 12446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
6261simprd 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 < 1)
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 12140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 𝐸))
6452rpcnd 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
6564mulid2d 10270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
6663, 65breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 𝐸)
6751simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6867simp1d 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
69 eliooord 12446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
7170simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 < 1)
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 10410 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
73 4pos 11328 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
7439, 73jctir 562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
75 ltmul2 11086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7657, 26, 74, 75syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) < 1 ↔ (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1)))
7772, 76mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < (4 · 1))
78 4cn 11310 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
7978mulid1i 10254 . . . . . . . . . 10 (4 · 1) = 4
8077, 79syl6breq 4845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4)
8139, 39, 53ltmuldivd 12132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝐿 · 𝐸)) < 4 ↔ 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8280, 81mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 < (4 / (𝐿 · 𝐸)))
8312simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
8483, 55rpaddcld 12100 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
8584rpred 12085 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ)
8656, 83ltaddrp2d 12119 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
8785resqcld 13249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ)
8813simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8951simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
90 2z 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
9388, 92rpmulcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
94 4z 11623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℤ
95 rpexpcl 13093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
9693, 94, 95sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
97 3nn0 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ0
98 2nn 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
9997, 98decnncl 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 32 ∈ ℕ
100 nnrp 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 32 ∈ ℝ+
102 rpmulcl 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
103101, 4, 102sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
10467simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
105 rpexpcl 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10652, 90, 105sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10750, 106rpmulcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
108104, 107rpmulcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
109103, 108rpdivcld 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
110 3nn 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ∈ ℕ
111 nnrp 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℝ+
113 rpmulcl 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
1148, 112, 113sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
115114, 14rpaddcld 12100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
116109, 115rpmulcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
117116rpred 12085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
118117rpefcld 15054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
11996, 118rpaddcld 12100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
12087, 119ltaddrpd 12118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))))
121120, 15syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑊)
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 10409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < 𝑍)
12324rprege0d 12092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
124 resqrtth 14215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
126122, 125breqtrrd 4832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
12784rprege0d 12092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))))
12829rprege0d 12092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
129 lt2sq 13151 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
130127, 128, 129syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍) ↔ ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
131126, 130mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) < (√‘𝑍))
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 10410 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) < (√‘𝑍))
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 10410 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 < (√‘𝑍))
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 10410 . . . . . 6 (𝜑 → e < (√‘𝑍))
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 10410 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (√‘𝑍))
136 0le1 10763 . . . . . . 7 0 ≤ 1
137136a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
138 lt2sq 13151 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
13926, 137, 128, 138syl21anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (√‘𝑍) ↔ (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2)))
140135, 139mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) < ((√‘𝑍)↑2))
141 sq1 13172 . . . . 5 (1↑2) = 1
142141a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1↑2) = 1)
143140, 142, 1253brtr3d 4835 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑍)
14428, 30, 134ltled 10397 . . 3 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
14522, 83rerpdivcld 12116 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
14683rpred 12085 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
147146, 55ltaddrpd 12118 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 < (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))))
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 10410 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 < (√‘𝑍))
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 12141 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
150 remsqsqrt 14216 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
151123, 150syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
152149, 151breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍)
15330, 22, 83ltmuldivd 12132 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑍) · 𝑌) < 𝑍 ↔ (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌)))
154152, 153mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑍) < (𝑍 / 𝑌))
15530, 145, 154ltled 10397 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌))
156143, 144, 1553jca 1123 . 2 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
15756, 30, 132ltled 10397 . . 3 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍))
15888relogcld 24589 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
15989rpred 12085 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
16067simp2d 1138 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝐾)
161159, 160rplogcld 24595 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
162158, 161rerpdivcld 12116 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
163 readdcl 10231 . . . . 5 ((((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
164162, 34, 163sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
16524relogcld 24589 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
166165, 161rerpdivcld 12116 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
167 nndivre 11268 . . . . 5 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
168166, 46, 167sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
16993relogcld 24589 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ)
170 nndivre 11268 . . . . . . 7 (((log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
171165, 46, 170sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑍) / 4) ∈ ℝ)
172 relogexp 24562 . . . . . . . . 9 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17393, 94, 172sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) = (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))))
17496rpred 12085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ)
175119rpred 12085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ)
176174, 118ltaddrpd 12118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
177 rpexpcl 13093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
17884, 90, 177sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
179175, 178ltaddrpd 12118 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
18087recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℂ)
181119rpcnd 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℂ)
182180, 181addcomd 10450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
18315, 182syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 = ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) + ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2)))
184179, 183breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑊)
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 10409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) < 𝑍)
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 10410 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍)
187 logltb 24566 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+𝑍 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
18896, 24, 187syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) < 𝑍 ↔ (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍)))
189186, 188mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑋 · (𝐾↑2))↑4)) < (log‘𝑍))
190173, 189eqbrtrrd 4828 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍))
191 ltmuldiv2 11109 . . . . . . . 8 (((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
192169, 165, 74, 191syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · (log‘(𝑋 · (𝐾↑2)))) < (log‘𝑍) ↔ (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4)))
193190, 192mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) < ((log‘𝑍) / 4))
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 12142 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) < (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)))
19588, 92relogmuld 24591 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))))
196 relogexp 24562 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
19789, 90, 196sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝐾↑2)) = (2 · (log‘𝐾)))
198197oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘𝑋) + (log‘(𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
199195, 198eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) = ((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))))
200199oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)))
201158recnd 10280 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
202 2cnd 11305 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
203161rpcnd 12087 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
204202, 203mulcld 10272 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ)
205161rpcnne0d 12094 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0))
206 divdir 10922 . . . . . . 7 (((log‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝐾)) ∈ ℂ ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
207201, 204, 205, 206syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) + (2 · (log‘𝐾))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))))
208205simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ≠ 0)
209202, 203, 208divcan4d 11019 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾)) = 2)
210209oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + ((2 · (log‘𝐾)) / (log‘𝐾))) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
211200, 207, 2103eqtrd 2798 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑋 · (𝐾↑2))) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
212165recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℂ)
213 rpcnne0 12063 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ+ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
21448, 213mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
215 divdiv32 10945 . . . . . 6 (((log‘𝑍) ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ ((log‘𝐾) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐾) ≠ 0)) → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
216212, 214, 205, 215syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / 4) / (log‘𝐾)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
217194, 211, 2163brtr3d 4835 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) < (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
218164, 168, 217ltled 10397 . . 3 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
219115rpred 12085 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ)
220108, 103rpdivcld 12102 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
221220rpred 12085 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) ∈ ℝ)
222221, 165remulcld 10282 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ)
223115rpcnd 12087 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ)
224108rpcnne0d 12094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0))
225103rpcnne0d 12094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0))
226 divdiv2 10949 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0) ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
227223, 224, 225, 226syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
228103rpcnd 12087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℂ)
229223, 228mulcomd 10273 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) = ((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
230229oveq1d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) · (32 · 𝐵)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))))
231 div23 10916 . . . . . . . . 9 (((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ≠ 0)) → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
232228, 223, 224, 231syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((32 · 𝐵) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
233227, 230, 2323eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) = (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))
234117reefcld 15037 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ)
235234, 96ltaddrp2d 12119 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
236234, 175, 22, 235, 185lttrd 10410 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < 𝑍)
23724reeflogd 24590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑍)) = 𝑍)
238236, 237breqtrrd 4832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍)))
239 eflt 15066 . . . . . . . . 9 (((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑍) ∈ ℝ) → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
240117, 165, 239syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍) ↔ (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) < (exp‘(log‘𝑍))))
241238, 240mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) < (log‘𝑍))
242233, 241eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍))
243219, 165, 220ltdivmuld 12136 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑈 · 3) + 𝐶) / (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵))) < (log‘𝑍) ↔ ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍))))
244242, 243mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) < ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
245219, 222, 244ltled 10397 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)))
246104rpcnd 12087 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
247107rpcnd 12087 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
248 divass 10915 . . . . . 6 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ ∧ ((32 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (32 · 𝐵) ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
249246, 247, 225, 248syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) = ((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))))
250249oveq1d 6829 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) / (32 · 𝐵)) · (log‘𝑍)) = (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
251245, 250breqtrd 4830 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))
252157, 218, 2513jca 1123 . 2 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
25324, 156, 2523jca 1123 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478   / cdiv 10896  ℕcn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  ℤcz 11589  ;cdc 11705  ℝ+crp 12045  (,)cioo 12388  [,)cico 12390  ↑cexp 13074  √csqrt 14192  expce 15011  eceu 15012  logclog 24521  ψcchp 25039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-e 15018  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523 This theorem is referenced by:  pntlemg  25507  pntlemh  25508  pntlemn  25509  pntlemq  25510  pntlemr  25511  pntlemj  25512  pntlemf  25514  pntlemk  25515  pntlemo  25516
 Copyright terms: Public domain W3C validator