MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlema 25484
Description: Lemma for pnt 25502. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x2, 𝑋 is x1, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
Assertion
Ref Expression
pntlema (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2 pntlem1.y . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
32simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
4 4nn 11379 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 nnrp 12035 . . . . . . 7 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝐴 + 1)
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 25482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
1413simp1d 1137 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐴)
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 25483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
2019simp1d 1137 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2114, 20rpmulcld 12081 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22 rpdivcl 12049 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
236, 21, 22sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
243, 23rpaddcld 12080 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25 2z 11601 . . . 4 2 ∈ ℤ
26 rpexpcl 13073 . . . 4 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
2724, 25, 26sylancl 697 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28 pntlem1.x . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
2928simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
3019simp2d 1138 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
31 rpexpcl 13073 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
3230, 25, 31sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
3329, 32rpmulcld 12081 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34 4z 11603 . . . . 5 4 ∈ ℤ
35 rpexpcl 13073 . . . . 5 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
3633, 34, 35sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37 3nn0 11502 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
38 2nn 11377 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 11710 . . . . . . . . . 10 32 ∈ ℕ
40 nnrp 12035 . . . . . . . . . 10 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 32 ∈ ℝ+
42 rpmulcl 12048 . . . . . . . . 9 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4341, 9, 42sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4419simp3d 1139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
4544simp3d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
46 rpexpcl 13073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4720, 25, 46sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4814, 47rpmulcld 12081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
4945, 48rpmulcld 12081 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
5043, 49rpdivcld 12082 . . . . . . 7 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51 3nn 11378 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
52 nnrp 12035 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ+
54 rpmulcl 12048 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
5515, 53, 54sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
56 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
5755, 56rpaddcld 12080 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
5850, 57rpmulcld 12081 . . . . . 6 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
5958rpred 12065 . . . . 5 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
6059rpefcld 15034 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
6136, 60rpaddcld 12080 . . 3 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
6227, 61rpaddcld 12080 . 2 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
631, 62syl5eqel 2843 1 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  cz 11569  cdc 11685  +crp 12025  (,)cioo 12368  cexp 13054  expce 14991  ψcchp 25018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997
This theorem is referenced by:  pntlemb  25485  pntleme  25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator