MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem1 25477
Description: Lemma for pntibnd 25481. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2 4nn 11379 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
3 nnrp 12035 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4 rpreccl 12050 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (1 / 4) ∈ ℝ+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 3nn 11378 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
8 nnrp 12035 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
10 rpaddcl 12047 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
116, 9, 10sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
12 rpdivcl 12049 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
135, 11, 12sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
141, 13syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1514rpred 12065 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1614rpgt0d 12068 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐿)
17 rpcn 12034 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℂ
1918div1i 10945 . . . . 5 ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
20 rpre 12032 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
215, 20mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
22 3re 11286 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
2411rpred 12065 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
25 1lt4 11391 . . . . . . . . 9 1 < 4
26 4re 11289 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
27 4pos 11308 . . . . . . . . . 10 0 < 4
28 recgt1 11111 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
2926, 27, 28mp2an 710 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3025, 29mpbi 220 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
31 1lt3 11388 . . . . . . . 8 1 < 3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℝ
33 1re 10231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3432, 33, 22lttri 10355 . . . . . . . 8 (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
3530, 31, 34mp2an 710 . . . . . . 7 (1 / 4) < 3
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < 3)
37 ltaddrp 12060 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
3822, 6, 37sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
39 3cn 11287 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
406rpcnd 12067 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
41 addcom 10414 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4239, 40, 41sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4338, 42breqtrd 4830 . . . . . 6 (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 10390 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
4519, 44syl5eqbr 4839 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
4633a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47 0lt1 10742 . . . . . 6 0 < 1
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
4911rpregt0d 12071 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
50 ltdiv23 11106 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1482 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5245, 51mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
531, 52syl5eqbr 4839 . 2 (𝜑𝐿 < 1)
54 0xr 10278 . . 3 0 ∈ ℝ*
5533rexri 10289 . . 3 1 ∈ ℝ*
56 elioo2 12409 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1)))
5754, 55, 56mp2an 710 . 2 (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1))
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1429 1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  3c3 11263  4c4 11264  +crp 12025  (,)cioo 12368  ψcchp 25018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-rp 12026  df-ioo 12372
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  25478  pntibndlem2  25479  pntibnd  25481
  Copyright terms: Public domain W3C validator