MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibnd 25481
Description: Lemma for pnt 25502. Establish smallness of 𝑅 on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntibnd 𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑦   𝑢,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝑐,𝑘,𝑙,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑣 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrmax 25452 . 2 𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑
31pntpbnd 25476 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)
4 reeanv 3245 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)))
5 2rp 12030 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
6 rpmulcl 12048 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
75, 6mpan 708 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
8 2re 11282 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
9 1lt2 11386 . . . . . . . . 9 1 < 2
10 rplogcl 24549 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
118, 9, 10mp2an 710 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ ℝ+
12 rpaddcl 12047 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ (log‘2) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
137, 11, 12sylancl 697 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
1413ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
15 id 22 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)
16 eqid 2760 . . . . . . . 8 ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) = ((1 / 4) / (𝑑 + 3))
171, 15, 16pntibndlem1 25477 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
1817ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
19 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
20 eliooord 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒𝑒 < 1))
2120simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑒)
2219, 21elrpd 12062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 12077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
2423rpred 12065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
2523rpgt0d 12068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < (𝑒 / 2))
26 1red 10247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27 rphalflt 12053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) < 𝑒)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 𝑒)
2920simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 < 1)
3024, 19, 26, 28, 29lttrd 10390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 1)
31 0xr 10278 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
32 1re 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
3332rexri 10289 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
34 elioo2 12409 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1)))
3531, 33, 34mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1))
3624, 25, 30, 35syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
38 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (𝑏 / 𝑓) = (𝑏 / (𝑒 / 2)))
3938fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (exp‘(𝑏 / 𝑓)) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))))
4039oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞) = ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞))
41 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓 ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
4241anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4342rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4443ralbidv 3124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4540, 44raleqbidv 3291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4645rexbidv 3190 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4746rspcv 3445 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4837, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
49 simp-4l 825 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
50 simpllr 817 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑)
51 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5251ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
53 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))
54 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑏) + (log‘2)) = ((2 · 𝑏) + (log‘2))
55 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
56 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
57 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
581, 49, 16, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57pntibndlem3 25480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5958rexlimdvaa 3170 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6048, 59syld 47 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6160ralrimdva 3107 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6261impr 650 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
63 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (𝑐 / 𝑒) = (((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))
6463fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒)))
6564oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞))
6665raleqdv 3283 . . . . . . . . 9 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6766rexbidv 3190 . . . . . . . 8 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6867ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
69 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑙 · 𝑒) = (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒))
7069oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (1 + (𝑙 · 𝑒)) = (1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)))
7170oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))
7271breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
7372anbi2d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
7471oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧)))
7574raleqdv 3283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
7673, 75anbi12d 749 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7776rexbidv 3190 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7877ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7978rexralbidv 3196 . . . . . . . 8 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
8079ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
8168, 80rspc2ev 3463 . . . . . 6 ((((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+ ∧ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
8214, 18, 62, 81syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
8382ex 449 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
8483rexlimivv 3174 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
854, 84sylbir 225 . 2 ((∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
862, 3, 85mp2an 710 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  +crp 12025  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  abscabs 14173  expce 14991  logclog 24500  ψcchp 25018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-o1 14420  df-lo1 14421  df-sum 14616  df-ef 14997  df-e 14998  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-em 24918  df-cht 25022  df-vma 25023  df-chp 25024  df-ppi 25025  df-mu 25026
This theorem is referenced by:  pnt3  25500
  Copyright terms: Public domain W3C validator