Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt3 25522
 Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑙 𝑟 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrmax 25474 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏
31pntibnd 25503 . . . 4 𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
4 simpll 750 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5 simplr 752 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏)
6 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑥𝑟 = 𝑥)
86, 7oveq12d 6814 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑥 → (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟) = (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥))
98fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑥 → (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) = (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)))
109breq1d 4797 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏))
1110cbvralv 3320 . . . . . . . 8 (∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
125, 11sylib 208 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
13 simprll 764 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
14 simprlr 765 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑙 ∈ (0(,)1))
15 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑏 + 1) = (𝑏 + 1)
16 eqid 2771 . . . . . . 7 ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2))) = ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2)))
17 simprr 756 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
18 breq2 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑔 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑔))
19 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑔 → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))
2019breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑔 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)))
2118, 20anbi12d 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑔 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦))))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑔𝑧 = 𝑔)
2322, 19oveq12d 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑔 → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔)))
2423raleqdv 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑔 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
2521, 24anbi12d 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑔 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
2625cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
27 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑓 → (𝑦 < 𝑔𝑓 < 𝑔))
28 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑓 → (𝑘 · 𝑦) = (𝑘 · 𝑓))
2928breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑓 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)))
3027, 29anbi12d 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑓 → ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓))))
3130anbi1d 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑓 → (((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
3231rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
3326, 32syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
3433cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
35 oveq1 6803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟(,)+∞) = (𝑥(,)+∞))
3635raleqdv 3293 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
3734, 36syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
3837ralbidv 3135 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
3938cbvrexv 3321 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
4039ralbii 3129 . . . . . . . 8 (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
4117, 40sylib 208 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
421, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41pntleml 25521 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
4342expr 444 . . . . 5 (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1))) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
4443rexlimdvva 3186 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
453, 44mpi 20 . . 3 ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
4645rexlimiva 3176 . 2 (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
472, 46ax-mp 5 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277   < clt 10280   ≤ cle 10281   − cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  3c3 11277  ;cdc 11700  ℝ+crp 12035  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  ↑cexp 13067  abscabs 14182   ⇝𝑟 crli 14424  expce 14998  ψcchp 25040 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-o1 14429  df-lo1 14430  df-sum 14625  df-ef 15004  df-e 15005  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525  df-em 24940  df-cht 25044  df-vma 25045  df-chp 25046  df-ppi 25047  df-mu 25048 This theorem is referenced by:  pnt2  25523
 Copyright terms: Public domain W3C validator