MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnlt 12000
Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnlt (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt
StepHypRef Expression
1 pnfnre 10119 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 2928 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
32intnanr 981 . . . . 5 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
43intnanr 981 . . . 4 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴)
5 pnfnemnf 10132 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65neii 2825 . . . . 5 ¬ +∞ = -∞
76intnanr 981 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
84, 7pm3.2ni 917 . . 3 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
92intnanr 981 . . . 4 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
106intnanr 981 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 917 . . 3 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 917 . 2 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13 pnfxr 10130 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 11987 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan 706 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 316 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973   < cltrr 9978  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  pnfge  12002  xrltnsym  12008  xrlttr  12011  qbtwnxr  12069  xltnegi  12085  xmullem2  12133  xrinfmexpnf  12174  xrsupsslem  12175  xrinfmsslem  12176  xrub  12180  supxrpnf  12186  supxrunb1  12187  supxrunb2  12188  xrinf0  12206  lt6abl  18342  pnfnei  21072  metdstri  22701  esumpcvgval  30268  icorempt2  33329  iooelexlt  33340  iccpartigtl  41684
  Copyright terms: Public domain W3C validator