Theorem pnfnemnf 10132

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10130	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4861	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2877	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 10115	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2896	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  𝒫 cpw 4191  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ^*cxr 10111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-pow 4873  ax-un 6991  ax-cnex 10030

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10133  xnn0nemnf  11412  xrnemnf  11989  xrltnr  11991  pnfnlt  12000  nltmnf  12001  xaddpnf1  12095  xaddnemnf  12105  xmullem2  12133  xadddilem  12162  hashnemnf  13172  xrge0iifhom  30111  esumpr2  30257