MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 10132
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10130 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 4861 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 2877 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 10115 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 2896 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  wne 2823  𝒫 cpw 4191  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-pow 4873  ax-un 6991  ax-cnex 10030
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10133  xnn0nemnf  11412  xrnemnf  11989  xrltnr  11991  pnfnlt  12000  nltmnf  12001  xaddpnf1  12095  xaddnemnf  12105  xmullem2  12133  xadddilem  12162  hashnemnf  13172  xrge0iifhom  30111  esumpr2  30257
  Copyright terms: Public domain W3C validator