Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfneige0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfneige0 30337
Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 21245. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
pnfneige0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
pnfneige0 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10243 . . . 4 (((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2 simpllr 760 . . . 4 (((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4259 . . 3 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4 rexr 10287 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5 0xr 10288 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
7 pnfxr 10294 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
9 iocinif 29883 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
104, 6, 8, 9syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
11 ovif 6884 . . . . . 6 (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
1210, 11syl6reqr 2824 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
1312ad2antlr 706 . . . 4 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14 iocssicc 12467 . . . . . 6 (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15 sslin 3987 . . . . . 6 ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17 simpr 471 . . . . . 6 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18 ssin 3983 . . . . . . . 8 (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
1918biimpri 218 . . . . . . 7 ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
2019simpld 482 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21 ssinss1 3990 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
2217, 20, 213syl 18 . . . . 5 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
2316, 22sstrd 3762 . . . 4 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
2413, 23eqsstrd 3788 . . 3 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
2625sseq1d 3781 . . . 4 (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
2726rspcev 3460 . . 3 ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
283, 24, 27syl2anc 573 . 2 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29 letopon 21230 . . . . . . . . . 10 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30 iccssxr 12461 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31 resttopon 21186 . . . . . . . . . 10 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
3229, 30, 31mp2an 672 . . . . . . . . 9 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
3332topontopi 20940 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35 ovex 6823 . . . . . . . 8 (0(,]+∞) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37 pnfneige0.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
38 xrge0topn 30329 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3937, 38eqtri 2793 . . . . . . . . 9 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4039eleq2i 2842 . . . . . . . 8 (𝐴𝐽𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
4140biimpi 206 . . . . . . 7 (𝐴𝐽𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42 elrestr 16297 . . . . . . 7 ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
4334, 36, 41, 42syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44 letop 21231 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45 ovex 6823 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ∈ V
46 restabs 21190 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
4744, 14, 45, 46mp3an 1572 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
4843, 47syl6eleq 2860 . . . . 5 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
4944a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50 iocpnfordt 21240 . . . . . . 7 (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52 ssid 3773 . . . . . . 7 (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
54 inss2 3982 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
56 restopnb 21200 . . . . . 6 ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
5749, 36, 51, 53, 55, 56syl23anc 1483 . . . . 5 (𝐴𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
5848, 57mpbird 247 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
5958adantr 466 . . 3 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
60 simpr 471 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
61 0ltpnf 12161 . . . . . 6 0 < +∞
62 ubioc1 12432 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
635, 7, 61, 62mp3an 1572 . . . . 5 +∞ ∈ (0(,]+∞)
6463a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
6560, 64elind 3949 . . 3 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
66 pnfnei 21245 . . 3 (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6759, 65, 66syl2anc 573 . 2 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6828, 67r19.29a 3226 1 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  (,]cioc 12381  [,]cicc 12383  s cress 16065  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  ordTopcordt 16367  *𝑠cxrs 16368  Topctop 20918  TopOnctopon 20935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971
This theorem is referenced by:  lmxrge0  30338
  Copyright terms: Public domain W3C validator