Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfinf 30038
 Description: Plus infinity is an infinite for the completed real line, as any real number is infinitesimal compared to it. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
pnfinf (𝐴 ∈ ℝ+𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)

Proof of Theorem pnfinf
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpgt0 12029 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
2 nnz 11583 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 rpxr 12025 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ*)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrsmulgzz 29979 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
73, 5, 6syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) = (𝑛 ·e 𝐴))
83zred 11666 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
9 rpre 12024 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 rexmul 12286 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) = (𝑛 · 𝐴))
12 remulcl 10205 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
148, 10, 13syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ·e 𝐴) ∈ ℝ)
157, 14eqeltrd 2831 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ)
16 ltpnf 12139 . . . 4 ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) ∈ ℝ → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
1817ralrimiva 3096 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)
19 xrsex 19955 . . . 4 *𝑠 ∈ V
20 pnfxr 10276 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
21 xrsbas 19956 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
22 xrs0 29976 . . . . 5 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
23 eqid 2752 . . . . 5 (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
24 xrslt 29977 . . . . 5 < = (lt‘ℝ*𝑠)
2521, 22, 23, 24isinftm 30036 . . . 4 ((ℝ*𝑠 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
2619, 20, 25mp3an13 1556 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
274, 26syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞ ↔ (0 < 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐴) < +∞)))
281, 18, 27mpbir2and 995 1 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴(⋘‘ℝ*𝑠)+∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℝcr 10119  0cc0 10120   · cmul 10125  +∞cpnf 10255  ℝ*cxr 10257   < clt 10258  ℕcn 11204  ℤcz 11561  ℝ+crp 12017   ·e cxmu 12130  ℝ*𝑠cxrs 16354  .gcmg 17733  ⋘cinftm 30031 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-fz 12512  df-seq 12988  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-0g 16296  df-xrs 16356  df-plt 17151  df-minusg 17619  df-mulg 17734  df-inftm 30033 This theorem is referenced by:  xrnarchi  30039
 Copyright terms: Public domain W3C validator