MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncand 10585
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncand (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan 10479 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   + caddc 10131  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460
This theorem is referenced by:  mvlraddd  10636  mvrraddd  10637  addlsub  10639  pnpncand  10644  pncan1  10646  eluzmn  11886  icoshftf1o  12488  xov1plusxeqvd  12511  zesq  13181  brfi1indlem  13470  ccatval3  13551  fsumrev2  14713  binom1dif  14764  fprodp1  14898  risefacp1  14959  fallfacp1  14960  bpolydiflem  14984  sadcp1  15379  smupp1  15404  hashdvds  15682  pythagtriplem4  15726  pythagtriplem6  15728  pythagtriplem7  15729  pythagtriplem12  15733  pythagtriplem14  15735  pcqdiv  15764  mulgdirlem  17773  cayhamlem1  20873  blhalf  22411  pjthlem1  23408  ovolicopnf  23492  i1faddlem  23659  itg1addlem4  23665  ftc1lem4  24001  aaliou3lem8  24299  taylthlem2  24327  ulmshft  24343  efif1olem2  24488  efif1olem4  24490  quart1lem  24781  asinsin  24818  efiatan2  24843  logdiflbnd  24920  harmonicbnd4  24936  lgamgulmlem2  24955  lgamcvg2  24980  relgamcl  24987  ftalem1  24998  ftalem2  24999  bcctr  25199  pcbcctr  25200  bcp1ctr  25203  2sqblem  25355  mulog2sumlem1  25422  mulog2sumlem3  25424  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem5  25469  pntrlog2bndlem6  25471  colinearalglem4  25988  axpaschlem  26019  wwlksnred  27010  wwlksnredwwlkn  27013  wwlksnextproplem2  27028  clwlkclwwlklem2  27123  clwlkclwwlklem3  27124  clwwlkf  27176  wwlksext2clwwlk  27187  wwlksext2clwwlkOLD  27188  eucrct2eupth  27397  numclwwlk2lem1  27537  numclwlk2lem2f  27538  numclwwlk2lem1OLD  27544  numclwlk2lem2fOLD  27545  pjhthlem1  28559  psgnfzto1stlem  30159  madjusmdetlem2  30203  dya2icoseg  30648  iwrdsplit  30758  fibp1  30772  ballotlemfc0  30863  ballotlemfcc  30864  ballotlemsgt1  30881  ballotlemsel1i  30883  ballotlemsima  30886  ballotlem1ri  30905  signstfvn  30955  reprsuc  31002  bcprod  31931  bccolsum  31932  unblimceq0  32804  knoppndvlem6  32814  bj-bary1lem1  33472  sin2h  33712  itg2addnclem  33774  itg2addnclem3  33776  ftc1cnnclem  33796  areacirclem4  33816  ssbnd  33900  jm2.19lem4  38061  jm2.23  38065  jm3.1lem1  38086  itgpowd  38302  int-eqmvtd  38994  hashnzfzclim  39023  dvradcnv2  39048  binomcxplemnn0  39050  binomcxplemnotnn0  39057  nnsplit  40072  iccshift  40247  iooshift  40251  climinf  40341  limcperiod  40363  0ellimcdiv  40384  cncfshift  40590  cncfperiod  40595  dvdsn1add  40657  dvnmul  40661  dvnprodlem1  40664  itgiccshift  40699  itgperiod  40700  stoweidlem17  40737  wallispilem4  40788  wallispilem5  40789  stirlinglem1  40794  stirlinglem5  40798  stirlinglem6  40799  stirlinglem10  40803  dirkertrigeqlem2  40819  fourierdlem14  40841  fourierdlem19  40846  fourierdlem41  40868  fourierdlem42  40869  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem50  40876  fourierdlem64  40890  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem81  40907  fourierdlem92  40918  fourierdlem97  40923  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem107  40933  etransclem9  40963  nnfoctbdjlem  41175  fldivmod  42823  mvlladdd  43026  mvrladdd  43028
  Copyright terms: Public domain W3C validator