MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3oi 10335
Description: Subtraction and addition of equals. Almost but not exactly the same as pncan3i 10396 and pncan 10325, this order happens often when applying "operations to both sides" so create a theorem specifically for it. A deduction version of this is available as pncand 10431. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pncan3oi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3oi.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
pncan3oi ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Proof of Theorem pncan3oi
StepHypRef Expression
1 pncan3oi.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 pncan3oi.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 pncan 10325 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3mp2an 708 1 ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  mvrraddi  10336  mvlladdi  10337  climcndslem1  14625  3dvds  15099  3dvdsOLD  15100  1259prm  15890  2503prm  15894  ovolicc2lem4  23334  eff1o  24340  log2tlbnd  24717  birthday  24726  basellem8  24859  ppiublem2  24973  ppiub  24974  chtub  24982  bposlem6  25059  bposlem8  25061  ex-ind-dvds  27448  lnfn0i  29029  lmatfvlem  30009  quad3  31690  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  fdc  33671  heiborlem6  33745  areaquad  38119  inductionexd  38770  stoweidlem34  40569  fouriersw  40766  mvlraddi  42842  mvrladdi  42844
  Copyright terms: Public domain W3C validator