MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3d 10607
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan3d (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan3 10501 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146   + caddc 10151  cmin 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480
This theorem is referenced by:  xralrple  12249  quoremz  12868  quoremnn0ALT  12870  intfrac2  12871  intfrac  12899  2cshwcshw  13791  isercoll2  14618  iseralt  14634  mertenslem1  14835  fprodser  14898  risefacfac  14985  fallfacfwd  14986  eflt  15066  efival  15101  bitsmod  15380  bitsinv1lem  15385  odzdvds  15722  modprm0  15732  pcaddlem  15814  vdwapun  15900  vdwlem12  15918  odmodnn0  18179  mndodconglem  18180  minveclem4  23423  ivthlem2  23441  dvn2bss  23912  ftc2  24026  mdegmullem  24057  plymullem1  24189  dvtaylp  24343  dvntaylp  24344  dvntaylp0  24345  taylthlem1  24346  ulmbdd  24371  affineequiv  24773  mcubic  24794  quart1lem  24802  quart1  24803  asinsin  24839  birthdaylem2  24899  emcllem6  24947  perfectlem2  25175  lgseisenlem4  25323  lgsquadlem1  25325  dchrisumlem1  25398  dchrvmasum2if  25406  dchrisum0lem1  25425  selberg3  25468  axsegconlem10  26026  smcnlem  27882  oddpwdc  30746  itg2addnclem3  33794  ftc2nc  33825  fzisoeu  40031  lptre2pt  40393  0ellimcdiv  40402  climleltrp  40429  ioodvbdlimc1lem2  40668  dvnprodlem1  40682  itgsinexp  40691  itgsbtaddcnst  40719  dirkertrigeqlem2  40837  fourierdlem4  40849  fourierdlem13  40858  fourierdlem26  40871  fourierdlem41  40886  fourierdlem42  40887  fourierdlem50  40894  fourierdlem60  40904  fourierdlem61  40905  fourierdlem74  40918  fourierdlem75  40919  fourierdlem76  40920  fourierdlem84  40928  fourierdlem89  40933  fourierdlem90  40934  fourierdlem91  40935  fourierdlem93  40937  fourierdlem101  40945  fourierdlem107  40951  fourierdlem111  40955  fourierdlem112  40956  fouriersw  40969  smfaddlem1  41495  sigarcol  41577  ccatpfx  41937  perfectALTVlem2  42159  nnpw2pmod  42905
  Copyright terms: Public domain W3C validator