MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2d 10586
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan2 10480 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   + caddc 10131  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460
This theorem is referenced by:  2txmxeqx  11341  xov1plusxeqvd  12511  fzocatel  12726  expaddzlem  13097  hashf1lem2  13432  swrdccat2  13658  imval2  14090  clim2ser  14584  serf0  14610  fsumrev2  14713  geolim2  14801  mertenslem2  14816  mertens  14817  bpolydiflem  14984  eirrlem  15131  dvdsadd2b  15230  bitsmod  15360  sadadd3  15385  mulgdirlem  17773  coe1tmmul2fv  19850  coe1pwmulfv  19852  cnsubrg  20008  reperflem  22822  reconnlem2  22831  ioorcl2  23540  uniioombllem3  23553  lhop1lem  23975  dvfsumabs  23985  ftc1lem1  23997  itgparts  24009  itgsubstlem  24010  coe1mul3  24058  coemulhi  24209  abelthlem6  24389  efif1olem4  24490  efopn  24603  dcubic2  24770  log2tlbnd  24871  birthdaylem2  24878  jensenlem2  24913  fsumharmonic  24937  lgamcvg2  24980  chtdif  25083  chtublem  25135  bposlem9  25216  lgsquadlem1  25304  dchrisumlem1  25377  dchrisumlem2  25378  dchrisum0lem1b  25403  selberg2lem  25438  logdivbnd  25444  pntrsumo1  25453  pntrsumbnd2  25455  pntrlog2bndlem1  25465  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem6  25471  pntpbnd1a  25473  axsegconlem9  26004  axpaschlem  26019  2sqmod  29957  archiabllem1a  30054  probdif  30791  ballotlemsi  30885  dnizphlfeqhlf  32772  knoppndvlem14  32822  knoppndvlem16  32824  bj-bary1lem1  33472  ftc1anc  33806  jm2.27c  38076  jm3.1lem2  38087  radcnvrat  39015  binomcxplemdvbinom  39054  binomcxplemnotnn0  39057  fzisoeu  40013  supxrgelem  40051  mccllem  40332  ioodvbdlimc1lem2  40650  stirlinglem5  40798  fourierdlem7  40834  fourierdlem19  40846  fourierdlem26  40853  fourierdlem42  40869  fourierdlem63  40889  fourierdlem65  40891  fourierdlem79  40905  fourierdlem89  40915  fourierdlem90  40916  fourierdlem91  40917  fourierdlem101  40927  fourierdlem112  40938  qndenserrnbllem  41017  sigarcol  41559  dignn0flhalflem1  42919
  Copyright terms: Public domain W3C validator