MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan1 10638
Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
pncan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10240 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10577 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  (class class class)co 6805  cc 10118  1c1 10121   + caddc 10123  cmin 10450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263  df-sub 10452
This theorem is referenced by:  nn0split  12640  nn0disj  12641  elfzom1elp1fzo1  12754  sqoddm1div8  13214  wrdlenccats1lenm1  13586  wrdlenccats1lenm1OLD  13587  ccatws1lenrevOLD  13598  ccats1swrdeq  13661  ltoddhalfle  15279  pwp1fsum  15308  flodddiv4  15331  prmop1  15936  cayhamlem1  20865  2lgslem1c  25309  2lgslem3a  25312  2lgslem3c  25314  2lgslem3d  25315  wlklenvm1  26719  wwlknp  26938  wwlknlsw  26943  0enwwlksnge1  26965  wlkiswwlks1  26968  wspthsnwspthsnon  27026  wspthsnwspthsnonOLD  27028  wspthsnonn0vne  27029  elwspths2spth  27081  wwlksext2clwwlk  27179  wwlksext2clwwlkOLD  27180  numclwwlk2lem1lem  27490  numclwwlk2lem1lemOLD  27491  numclwlk2lem2f  27530  numclwlk2lem2fOLD  27537  poimirlem4  33718  poimirlem10  33724  poimirlem19  33733  poimirlem28  33742  sumnnodd  40357  iccpartgtprec  41858  ccats1pfxeq  41923  fmtnom1nn  41946  fmtnorec1  41951  sfprmdvdsmersenne  42022  proththdlem  42032  41prothprmlem1  42036  dfodd6  42052  evenp1odd  42055  perfectALTVlem1  42132  altgsumbcALT  42633  fllog2  42864  nnpw2blen  42876  dig2nn1st  42901  nn0sumshdiglemA  42915  nn0sumshdiglemB  42916  aacllem  43052
  Copyright terms: Public domain W3C validator