MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pn0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pn0sr 9867
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 1idsr 9864 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
21oveq1d 6620 . 2 (𝐴R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
3 distrsr 9857 . . . 4 (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R))
4 m1p1sr 9858 . . . . 5 (-1R +R 1R) = 0R
54oveq2i 6616 . . . 4 (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
6 addcomsr 9853 . . . 4 ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
73, 5, 63eqtr3i 2656 . . 3 (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))
8 00sr 9865 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
97, 8syl5eqr 2674 . 2 (𝐴R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
102, 9eqtr3d 2662 1 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  Rcnr 9632  0Rc0r 9633  1Rc1r 9634  -1Rcm1r 9635   +R cplr 9636   ·R cmr 9637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-ni 9639  df-pli 9640  df-mi 9641  df-lti 9642  df-plpq 9675  df-mpq 9676  df-ltpq 9677  df-enq 9678  df-nq 9679  df-erq 9680  df-plq 9681  df-mq 9682  df-1nq 9683  df-rq 9684  df-ltnq 9685  df-np 9748  df-1p 9749  df-plp 9750  df-mp 9751  df-ltp 9752  df-enr 9822  df-nr 9823  df-plr 9824  df-mr 9825  df-0r 9827  df-1r 9828  df-m1r 9829
This theorem is referenced by:  negexsr  9868  sqgt0sr  9872  map2psrpr  9876  axrnegex  9928
  Copyright terms: Public domain W3C validator