Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrprfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv2 30128
 Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrprfv2.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem pmtrprfv2
StepHypRef Expression
1 prcom 4399 . . . 4 {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
21fveq2i 6343 . . 3 (𝑇‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
32fveq1i 6341 . 2 ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌)
4 ancom 465 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) ↔ (𝑌𝐷𝑋𝐷))
5 necom 2973 . . . . . . 7 (𝑋𝑌𝑌𝑋)
64, 5anbi12i 735 . . . . . 6 (((𝑋𝐷𝑌𝐷) ∧ 𝑋𝑌) ↔ ((𝑌𝐷𝑋𝐷) ∧ 𝑌𝑋))
7 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) ↔ ((𝑋𝐷𝑌𝐷) ∧ 𝑋𝑌))
8 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑌𝐷𝑋𝐷𝑌𝑋) ↔ ((𝑌𝐷𝑋𝐷) ∧ 𝑌𝑋))
96, 7, 83bitr4i 292 . . . . 5 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) ↔ (𝑌𝐷𝑋𝐷𝑌𝑋))
109biimpi 206 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → (𝑌𝐷𝑋𝐷𝑌𝑋))
1110anim2i 594 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → (𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑋𝐷𝑌𝑋)))
12 pmtrprfv2.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1312pmtrprfv 18044 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑋𝐷𝑌𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
153, 14syl5eqr 2796 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  {cpr 4311  ‘cfv 6037  pmTrspcpmtr 18032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-om 7219  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pmtr 18033 This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  30130  pmtridfv2  30138
 Copyright terms: Public domain W3C validator