MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfmvdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfmvdn0 18089
Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfmvdn0 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0
StepHypRef Expression
1 2on0 7723 . 2 2𝑜 ≠ ∅
2 pmtrrn.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3 pmtrrn.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran 𝑇
4 eqid 2771 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
52, 3, 4pmtrfrn 18085 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
65simpld 482 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
76simp3d 1138 . . . . 5 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
8 enen1 8256 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
10 en0 8172 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11 en0 8172 . . . 4 (2𝑜 ≈ ∅ ↔ 2𝑜 = ∅)
129, 10, 113bitr3g 302 . . 3 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2𝑜 = ∅))
1312necon3bid 2987 . 2 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
141, 13mpbiri 248 1 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786   I cid 5156  dom cdm 5249  ran crn 5250  cfv 6031  2𝑜c2o 7707  cen 8106  pmTrspcpmtr 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-pmtr 18069
This theorem is referenced by:  psgnunilem3  18123
  Copyright terms: Public domain W3C validator