Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfb 17931
 Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfb (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))

Proof of Theorem pmtrfb
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2651 . . . . 5 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 17924 . . . 4 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
71, 2pmtrff1o 17929 . . 3 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
8 simpl3 1086 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
94, 8syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
106, 7, 93jca 1261 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
11 simp2 1082 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
12 difss 3770 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13 dmss 5355 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15 f1odm 6179 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
1614, 15syl5sseq 3686 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
171, 2pmtrrn 17923 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
1816, 17syl3an2 1400 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
191, 2pmtrff1o 17929 . . . . 5 ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
21 simp3 1083 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
221pmtrmvd 17922 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
2316, 22syl3an2 1400 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24 f1otrspeq 17913 . . . 4 (((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2511, 20, 21, 23, 24syl22anc 1367 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2625, 18eqeltrd 2730 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝐹𝑅)
2710, 26impbii 199 1 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   I cid 5052  dom cdm 5143  ran crn 5144  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  2𝑜c2o 7599   ≈ cen 7994  pmTrspcpmtr 17907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pmtr 17908 This theorem is referenced by:  pmtrfconj  17932  symggen  17936  pmtrdifellem1  17942  pmtrdifellem2  17943  psgnunilem1  17959
 Copyright terms: Public domain W3C validator