MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrf 17921
Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrf ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)

Proof of Theorem pmtrf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1121 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃𝐷)
2 1onn 7764 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
32a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 1𝑜 ∈ ω)
4 simpll3 1122 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ 2𝑜)
5 df-2o 7606 . . . . . . . 8 2𝑜 = suc 1𝑜
64, 5syl6breq 4726 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1𝑜)
7 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
8 dif1en 8234 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1𝑜𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1𝑜)
93, 6, 7, 8syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1𝑜)
10 en1uniel 8069 . . . . . 6 ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1𝑜 (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
11 eldifi 3765 . . . . . 6 ( (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
131, 12sseldd 3637 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
14 simplr 807 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ ¬ 𝑧𝑃) → 𝑧𝐷)
1513, 14ifclda 4153 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) → if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
16 eqid 2651 . . 3 (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧))
1715, 16fmptd 6425 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)):𝐷𝐷)
18 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1918pmtrval 17917 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑇𝑃) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
2019feq1d 6068 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → ((𝑇𝑃):𝐷𝐷 ↔ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)):𝐷𝐷))
2117, 20mpbird 247 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  suc csuc 5763  wf 5922  cfv 5926  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  cen 7994  pmTrspcpmtr 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-pmtr 17908
This theorem is referenced by:  pmtrmvd  17922  pmtrfinv  17927  pmtrff1o  17929  pmtrfcnv  17930  pmtr3ncomlem1  17939  mdetralt  20462  mdetunilem7  20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator