MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem1 17942
Description: Lemma 1 for pmtrdifel 17946. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
31, 2pmtrfb 17931 . 2 (𝑄𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
4 difsnexi 7012 . . 3 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5 f1of 6175 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 fdm 6089 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7 difssd 3771 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8 dmss 5355 . . . . . 6 ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
97, 8syl 17 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10 difssd 3771 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11 sseq1 3659 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
1210, 11mpbird 247 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄𝑁)
139, 12sstrd 3646 . . . 4 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
145, 6, 133syl 18 . . 3 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15 id 22 . . 3 (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
16 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17 eqid 2651 . . . . 5 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
1917, 18pmtrrn 17923 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
2016, 19syl5eqel 2734 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝑆𝑅)
214, 14, 15, 20syl3an 1408 . 2 (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝑆𝑅)
223, 21sylbi 207 1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   I cid 5052  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  2𝑜c2o 7599  cen 7994  pmTrspcpmtr 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pmtr 17908
This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  17944  pmtrdifellem4  17945  pmtrdifel  17946  pmtrdifwrdellem1  17947  pmtrdifwrdellem2  17948
  Copyright terms: Public domain W3C validator