Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem2 35451
 Description: Lemma for pmod1i 35452. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))

Proof of Theorem pmodlem2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
21oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
3 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl22 1160 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐴)
5 pmodlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 pmodlem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
75, 6padd02 35416 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
83, 4, 7syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
92, 8eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
109ineq1d 3846 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑌𝑍))
11 ssinss1 3874 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
124, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
13 simpl21 1159 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝐴)
145, 6sspadd2 35420 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
153, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
1610, 15eqsstrd 3672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
17 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑌 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + ∅))
18 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp21 1114 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
205, 6padd01 35415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2217, 21sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
2322ineq1d 3846 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋𝑍))
24 inss1 3866 . . . 4 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
25 simpl1 1084 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
26 simpl21 1159 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋𝐴)
27 simpl22 1160 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌𝐴)
2827, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
295, 6sspadd1 35419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3124, 30syl5ss 3647 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3223, 31eqsstrd 3672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
33 elin 3829 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
34 simpl1 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
35 hllat 34968 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
37 simpl21 1159 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑋𝐴)
38 simpl22 1160 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑌𝐴)
39 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
40 pmodlem.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
41 pmodlem.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
4240, 41, 5, 6elpaddn0 35404 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
4336, 37, 38, 39, 42syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
44 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
45 simpl21 1159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝐴)
46 simpl22 1160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑌𝐴)
47 simpl23 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑍𝑆)
48 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝑍)
49 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝𝑍)
50 simpr2l 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑞𝑋)
51 simpr2r 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑟𝑌)
52 simpr3 1089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
53 pmodlem.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5440, 41, 5, 53, 6pmodlem1 35450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
5544, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 54syl333anc 1398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
56553exp2 1307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑝𝑍 → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
5756imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))))
5857rexlimdvv 3066 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
5958adantld 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6059adantrl 752 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6143, 60sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6261exp32 630 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝𝑍 → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6362com34 91 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑝𝑍𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6463imp4b 612 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6533, 64syl5bi 232 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6665ssrdv 3642 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6716, 32, 66pm2.61da2ne 2911 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  PSubSpcpsubsp 35100  +𝑃cpadd 35399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-padd 35400 This theorem is referenced by:  pmod1i  35452
 Copyright terms: Public domain W3C validator