Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod1i 35452
Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod1i ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 pmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmod.s . . . . 5 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5 pmod.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmodlem2 35451 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
763expa 1284 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
8 inss1 3866 . . . . 5 (𝑌𝑍) ⊆ 𝑌
9 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr2 1124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑌𝐴)
11 simplr1 1123 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
123, 5paddss2 35422 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
139, 10, 11, 12syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
148, 13mpi 20 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
163, 4psubssat 35358 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
17163ad2antr3 1248 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑍𝐴)
18 simpr2 1088 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑌𝐴)
19 ssinss1 3874 . . . . . . . 8 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
213, 5paddss1 35421 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑍 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍))))
2215, 17, 20, 21syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍))))
2322imp 444 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍)))
24 simplr3 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝑆)
259, 24, 16syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝐴)
26 inss2 3867 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍) ⊆ 𝑍
273, 5paddss2 35422 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
2826, 27mpi 20 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑍𝐴) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
299, 25, 25, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
304, 5paddidm 35445 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
319, 24, 30syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
3229, 31sseqtrd 3674 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ 𝑍)
3323, 32sstrd 3646 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ 𝑍)
3414, 33ssind 3870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
357, 34eqssd 3653 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3635ex 449 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  PSubSpcpsubsp 35100  +𝑃cpadd 35399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-padd 35400
This theorem is referenced by:  pmod2iN  35453  pmodN  35454  pmodl42N  35455  hlmod1i  35460
  Copyright terms: Public domain W3C validator