Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpwscmatlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpwscmatlem2 20821
 Description: Lemma 2 for pmatcollpwscmat 20822. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpwscmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcollpwscmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpwscmat.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpwscmat.m1 = ( ·𝑠𝐶)
pmatcollpwscmat.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpwscmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
pmatcollpwscmat.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpwscmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpwscmat.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
pmatcollpwscmat.u 𝑈 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pmatcollpwscmat.e2 𝐸 = (Base‘𝑃)
pmatcollpwscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.1 1 = (1r𝐶)
pmatcollpwscmat.m2 𝑀 = (𝑄 1 )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpwscmatlem2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝐿)) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ))

Proof of Theorem pmatcollpwscmatlem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2 simpr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → 𝑅 ∈ Ring)
4 simpr 480 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸) → 𝑄𝐸)
54anim2i 595 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑄𝐸))
6 df-3an 1071 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑄𝐸))
75, 6sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸))
8 pmatcollpwscmat.m2 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑄 1 )
9 pmatcollpwscmat.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
10 pmatcollpwscmat.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
11 pmatcollpwscmat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐶)
12 pmatcollpwscmat.e2 . . . . . . . 8 𝐸 = (Base‘𝑃)
13 pmatcollpwscmat.m1 . . . . . . . 8 = ( ·𝑠𝐶)
14 pmatcollpwscmat.1 . . . . . . . 8 1 = (1r𝐶)
159, 10, 11, 12, 13, 141pmatscmul 20733 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → (𝑄 1 ) ∈ 𝐵)
168, 15syl5eqel 2852 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → 𝑀𝐵)
177, 16syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → 𝑀𝐵)
18 simprl 808 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
19 pmatcollpwscmat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20 pmatcollpwscmat.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐴)
219, 10, 11, 19, 20decpmatcl 20798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐿) ∈ 𝐷)
223, 17, 18, 21syl3anc 1474 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑀 decompPMat 𝐿) ∈ 𝐷)
23 df-3an 1071 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝐿) ∈ 𝐷) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 decompPMat 𝐿) ∈ 𝐷))
241, 22, 23sylanbrc 698 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝐿) ∈ 𝐷))
25 pmatcollpwscmat.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
26 eqid 2769 . . . 4 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
2725, 19, 20, 9, 26mat2pmatval 20755 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 decompPMat 𝐿) ∈ 𝐷) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝐿)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑀 decompPMat 𝐿)𝑗))))
2824, 27syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝐿)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑀 decompPMat 𝐿)𝑗))))
293, 17, 183jca 1120 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝐿 ∈ ℕ0))
30293ad2ant1 1125 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝐿 ∈ ℕ0))
31 3simpc 1144 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
329, 10, 11decpmate 20797 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝐿)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿))
3330, 31, 32syl2anc 693 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝐿)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿))
3433fveq2d 6335 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑀 decompPMat 𝐿)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)))
3534mpt2eq3dva 6864 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑀 decompPMat 𝐿)𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿))))
36 simp1lr 1301 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37 simp2 1129 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
38 simp3 1130 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
39173ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
4010, 12, 11, 37, 38, 39matecld 20455 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐸)
41183ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
42 eqid 2769 . . . . . . 7 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
43 pmatcollpwscmat.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
4442, 12, 9, 43coe1fvalcl 19803 . . . . . 6 (((𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐸𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿) ∈ 𝐾)
4540, 41, 44syl2anc 693 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿) ∈ 𝐾)
46 eqid 2769 . . . . . 6 (var1𝑅) = (var1𝑅)
47 eqid 2769 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
48 eqid 2769 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
49 eqid 2769 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5043, 9, 46, 47, 48, 49, 26ply1scltm 19872 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿) ∈ 𝐾) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)) = (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
5136, 45, 50syl2anc 693 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)) = (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
5251mpt2eq3dva 6864 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))
53 pmatcollpwscmat.e1 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
54 pmatcollpwscmat.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
55 pmatcollpwscmat.u . . . . . . 7 𝑈 = (algSc‘𝑃)
56 pmatcollpwscmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algSc‘𝑃)
579, 10, 11, 13, 53, 54, 25, 19, 20, 55, 43, 12, 56, 14, 8pmatcollpwscmatlem1 20820 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)), (0g𝑃)))
58 eqidd 2770 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))
59 oveq12 6800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑎𝑀𝑏))
6059fveq2d 6335 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑎𝑀𝑏)))
6160fveq1d 6333 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿))
6261oveq1d 6806 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) = (((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
6362adantl 474 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏)) → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) = (((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
64 simprl 808 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
65 simprr 810 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
66 ovexd 6823 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ V)
6758, 63, 64, 65, 66ovmpt2d 6933 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))𝑏) = (((coe1‘(𝑎𝑀𝑏))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
68 simpll 804 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
699ply1ring 19839 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7069adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
7170adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → 𝑃 ∈ Ring)
72 pm3.22 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸) → (𝑄𝐸𝐿 ∈ ℕ0))
7372adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑄𝐸𝐿 ∈ ℕ0))
74 eqid 2769 . . . . . . . . . . 11 (coe1𝑄) = (coe1𝑄)
7574, 12, 9, 43coe1fvalcl 19803 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝐸𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑄)‘𝐿) ∈ 𝐾)
7673, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → ((coe1𝑄)‘𝐿) ∈ 𝐾)
779, 55, 43, 12ply1sclcl 19877 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑄)‘𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) ∈ 𝐸)
783, 76, 77syl2anc 693 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) ∈ 𝐸)
7968, 71, 783jca 1120 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) ∈ 𝐸))
80 eqid 2769 . . . . . . . 8 (0g𝑃) = (0g𝑃)
8110, 12, 80, 14, 13scmatscmide 20537 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 )𝑏) = if(𝑎 = 𝑏, (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)), (0g𝑃)))
8279, 81sylan 490 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 )𝑏) = if(𝑎 = 𝑏, (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)), (0g𝑃)))
8357, 67, 823eqtr4d 2813 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))𝑏) = (𝑎((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 )𝑏))
8483ralrimivva 3118 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))𝑏) = (𝑎((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 )𝑏))
85 0nn0 11507 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 0 ∈ ℕ0)
8743, 9, 46, 47, 48, 49, 12ply1tmcl 19863 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐸)
8836, 45, 86, 87syl3anc 1474 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) ∈ 𝐸)
8910, 12, 11, 68, 71, 88matbas2d 20452 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵)
909, 10, 11, 12, 13, 141pmatscmul 20733 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) ∈ 𝐸) → ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ) ∈ 𝐵)
9168, 3, 78, 90syl3anc 1474 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ) ∈ 𝐵)
9210, 11eqmat 20453 . . . . 5 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))𝑏) = (𝑎((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 )𝑏)))
9389, 91, 92syl2anc 693 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))𝑏) = (𝑎((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 )𝑏)))
9484, 93mpbird 247 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿)( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ))
9552, 94eqtrd 2803 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐿))) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ))
9628, 35, 953eqtrd 2807 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝐿)) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝐿)) 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1069   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ∀wral 3059  Vcvv 3348  ifcif 4222  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791   ↦ cmpt2 6793  Fincfn 8107  0cc0 10136  ℕ0cn0 11492  Basecbs 16070   ·𝑠 cvsca 16159  0gc0g 16314  .gcmg 17754  mulGrpcmgp 18703  1rcur 18715  Ringcrg 18761  algSccascl 19532  var1cv1 19767  Poly1cpl1 19768  coe1cco1 19769   Mat cmat 20436   matToPolyMat cmat2pmat 20735   decompPMat cdecpmat 20793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-ofr 7043  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13009  df-hash 13325  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-prds 16322  df-pws 16324  df-mre 16460  df-mrc 16461  df-acs 16463  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-mhm 17549  df-submnd 17550  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-mulg 17755  df-subg 17805  df-ghm 17872  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-abl 18409  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-subrg 18994  df-lmod 19081  df-lss 19149  df-sra 19393  df-rgmod 19394  df-ascl 19535  df-psr 19577  df-mvr 19578  df-mpl 19579  df-opsr 19581  df-psr1 19771  df-vr1 19772  df-ply1 19773  df-coe1 19774  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mamu 20413  df-mat 20437  df-mat2pmat 20738  df-decpmat 20794 This theorem is referenced by:  pmatcollpwscmat  20822
 Copyright terms: Public domain W3C validator