Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapmeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapmeet 35582
Description: The projective map of a meet. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapmeet.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapmeet.m = (meet‘𝐾)
pmapmeet.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapmeet.p 𝑃 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapmeet ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))

Proof of Theorem pmapmeet
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 pmapmeet.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 simp1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
5 simp3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5meetval 17227 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
76fveq2d 6337 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8 prssi 4488 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
983adant1 1124 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10 prnzg 4447 . . . 4 (𝑋𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
11103ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12 pmapmeet.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 pmapmeet.p . . . 4 𝑃 = (pmap‘𝐾)
1412, 1, 13pmapglb 35579 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥))
153, 9, 11, 14syl3anc 1476 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥))
16 fveq2 6333 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑋))
17 fveq2 6333 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑌))
1816, 17iinxprg 4736 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
19183adant1 1124 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
207, 15, 193eqtrd 2809 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑃‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑃𝑋) ∩ (𝑃𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {cpr 4319   ciin 4656  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  glbcglb 17151  meetcmee 17153  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  pmapcpmap 35306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-clat 17316  df-ats 35076  df-hlat 35160  df-pmap 35313
This theorem is referenced by:  hlmod1i  35665  poldmj1N  35737  pmapj2N  35738  pnonsingN  35742  psubclinN  35757  poml4N  35762  pl42lem1N  35788  pl42lem2N  35789
  Copyright terms: Public domain W3C validator