Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat1 35642
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 35079 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
543ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
6 pmapjat.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmapssat 35548 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
81, 5, 7syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
9 pmapjat.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
103, 9padd02 35601 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
111, 8, 10syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
1211adantr 472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
13 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14 hlatl 35150 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15143ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16 eqid 2760 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1716, 6pmap0 35554 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1913, 18sylan9eqr 2816 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) = ∅)
2019oveq1d 6828 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) = (∅ + (𝑀𝑄)))
21 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 𝑄) = ((0.‘𝐾) 𝑄))
22 hlol 35151 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23223ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24 pmapjat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
252, 24, 16olj02 35016 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐵) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2623, 5, 25syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2721, 26sylan9eqr 2816 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 𝑄) = 𝑄)
2827fveq2d 6356 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = (𝑀𝑄))
2912, 20, 283eqtr4rd 2805 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
30 simpll1 1255 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3130adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32 simpll2 1257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
3332adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋𝐵)
34 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝𝐴)
35 simpll3 1259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑄𝐴)
3635adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑄𝐴)
3733, 34, 363jca 1123 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴))
38 simpllr 817 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))
40 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 35233 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
4241imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 1478 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4443ex 449 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
452, 40, 3, 6elpmap 35547 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46453adant3 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47 df-rex 3056 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
483, 6elpmapat 35553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49483adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
5049anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5150exbidv 1999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5247, 51syl5rbb 273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
53 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑞 𝑄))
5453breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5554ceqsexgv 3474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
56553ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5752, 56bitr3d 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5846, 57anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
59 anass 684 . . . . . . . . . 10 (((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6058, 59syl6bb 276 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))))
6160rexbidv2 3186 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6261ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6344, 62sylibrd 249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
6463imdistanda 731 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
65 hllat 35153 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66653ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
682, 24latjcl 17252 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
6966, 67, 5, 68syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
702, 40, 3, 6elpmap 35547 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
711, 69, 70syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
7271adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
732, 3, 6pmapssat 35548 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
74733adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7566, 74, 83jca 1123 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
7675adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
772, 16, 6pmapeq0 35555 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78773adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
7978necon3bid 2976 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
8079biimpar 503 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) ≠ ∅)
81 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
8216, 3atn0 35098 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
8315, 81, 82syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
842, 16, 6pmapeq0 35555 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
851, 5, 84syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8685necon3bid 2976 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
8783, 86mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8887adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8940, 24, 3, 9elpaddn0 35589 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9076, 80, 88, 89syl12anc 1475 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9164, 72, 903imtr4d 283 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄))))
9291ssrdv 3750 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ⊆ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
932, 24, 6, 9pmapjoin 35641 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9466, 67, 5, 93syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9594adantr 472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9692, 95eqssd 3761 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
9729, 96pm2.61dane 3019 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  0.cp0 17238  Latclat 17246  OLcol 34964  Atomscatm 35053  AtLatcal 35054  HLchlt 35140  pmapcpmap 35286  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-pmap 35293  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  pmapjat2  35643  pmapjlln1  35644  atmod1i2  35648  paddatclN  35738
  Copyright terms: Public domain W3C validator