Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapj2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapj2N 35736
Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapj2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j = (join‘𝐾)
pmapj2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p + = (+𝑃𝐾)
pmapj2.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapj2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 35171 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
323ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 hlop 35170 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
543ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
7 pmapj2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
97, 8opoccl 35002 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
127, 8opoccl 35002 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
135, 11, 12syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14 eqid 2760 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
157, 14latmcl 17273 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
163, 10, 13, 15syl3anc 1477 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17 pmapj2.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18 pmapj2.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
197, 8, 17, 18polpmapN 35719 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
201, 16, 19syl2anc 696 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
217, 8, 17, 18polpmapN 35719 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22213adant3 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
237, 8, 17, 18polpmapN 35719 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24233adant2 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2522, 24ineq12d 3958 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26 eqid 2760 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
277, 26, 17pmapssat 35566 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28273adant3 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
297, 26, 17pmapssat 35566 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30293adant2 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31 pmapj2.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
3226, 31, 18poldmj1N 35735 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))) = (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))))
331, 28, 30, 32syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))) = (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))))
347, 14, 26, 17pmapmeet 35580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
351, 10, 13, 34syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
3625, 33, 353eqtr4rd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))))
3736fveq2d 6357 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
38 hlol 35169 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39 pmapj2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
407, 39, 14, 8oldmm4 35028 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4138, 40syl3an1 1167 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4241fveq2d 6357 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 𝑌)))
4320, 37, 423eqtr3rd 2803 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  occoc 16171  joincjn 17165  meetcmee 17166  Latclat 17266  OPcops 34980  OLcol 34982  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  pmapcpmap 35304  +𝑃cpadd 35602  𝑃cpolN 35709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-polarityN 35710
This theorem is referenced by:  pmapocjN  35737  pmapojoinN  35775
  Copyright terms: Public domain W3C validator