Theorem pm2mpcoe1 20825

Description: A coefficient of the polynomial over matrices which is the result of the transformation of a polynomial matrix is the matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrix. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpcoe1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = (𝑀 decompPMat 𝐾))

Proof of Theorem pm2mpcoe1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 750	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simplr 752	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simprl 754	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		pm2mpval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		pm2mpval.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		pm2mpval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		pm2mpval.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
8		pm2mpval.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
9		pm2mpval.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
10		pm2mpval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		pm2mpval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
12		pm2mpval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	pm2mpfval 20821	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑇‘𝑀) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15	14	fveq2d 6336	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝑇‘𝑀)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
16	15	fveq1d 6334	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾))
17		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
18	10	matring 20466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19	18	adantr 466	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ Ring)
20		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
21		eqid 2771	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
22	2	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
23	3	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
24		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	4, 5, 6, 10, 20	decpmatcl 20792	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
27	26	ralrimiva 3115	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
28	4, 5, 6, 10, 21	decpmatfsupp 20794	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
29	28	ad2ant2lr 742	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
30		simpr 471	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31	30	adantl 467	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
32	11, 17, 9, 8, 19, 20, 7, 21, 27, 29, 31	gsummoncoe1 19889	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘))
33		csbov2g 6836	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘))
34		csbvarg 4147	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐾)
35	34	oveq2d 6809	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
37	36	adantl 467	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
38	37	adantl 467	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
39	16, 32, 38	3eqtrd 2809	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = (𝑀 decompPMat 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3682   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431  ℕ₀cn0 11494  Basecbs 16064   ·_𝑠 cvsca 16153  0_gc0g 16308   Σ_g cgsu 16309  ._gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  var₁cv1 19761  Poly₁cpl1 19762  coe₁cco1 19763   Mat cmat 20430   decompPMat cdecpmat 20787   pMatToMatPoly cpm2mp 20817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-decpmat 20788  df-pm2mp 20818

This theorem is referenced by: (None)