Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyssc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyssc 24175
 Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyssc (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem plyssc
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4114 . . 3 ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)
2 sseq1 3773 . . 3 ((Poly‘𝑆) = ∅ → ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ↔ ∅ ⊆ (Poly‘ℂ)))
31, 2mpbiri 248 . 2 ((Poly‘𝑆) = ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
4 n0 4076 . . 3 ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
5 plybss 24169 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 ssid 3771 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
7 plyss 24174 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
85, 6, 7sylancl 566 . . . 4 (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
98exlimiv 2009 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
104, 9sylbi 207 . 2 ((Poly‘𝑆) ≠ ∅ → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ))
113, 10pm2.61ine 3025 1 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ‘cfv 6031  ℂcc 10135  Polycply 24159 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-map 8010  df-nn 11222  df-n0 11494  df-ply 24163 This theorem is referenced by:  plyaddcl  24195  plymulcl  24196  plysubcl  24197  coeval  24198  coeeu  24200  dgrval  24203  coef3  24207  coeidlem  24212  coemulc  24230  coesub  24232  dgrmulc  24246  dgrsub  24247  dgrcolem1  24248  dgrcolem2  24249  dgrco  24250  coecj  24253  dvply2  24260  dvnply  24262  quotval  24266  quotlem  24274  quotcl2  24276  quotdgr  24277  plyrem  24279  facth  24280  fta1  24282  quotcan  24283  vieta1lem1  24284  vieta1  24286  plyexmo  24287  ftalem7  25025  dgrsub2  38224
 Copyright terms: Public domain W3C validator