MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem 24171
Description: Lemma for plymul 24173. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyadd.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyadd.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyadd.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
plymul.x ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymullem (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem plymullem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plyadd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 plyadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 plyadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plybss 24149 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
71, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 0cnd 10225 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4485 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
107, 9unssd 3932 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10209 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
12 ssexg 4956 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11490 . . . . . . 7 0 ∈ V
15 elmapg 8036 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6218 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 plyadd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 elmapg 8036 . . . . . . 7 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2113, 14, 20sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
2219, 21mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
2322, 10fssd 6218 . . . 4 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24 plyadd.a2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
25 plyadd.b2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
26 plyadd.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
27 plyadd.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plymullem1 24169 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
293, 4nn0addcld 11547 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
31 plyadd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
327, 30, 31un0addcl 11518 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
33 fzfid 12966 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑛) ∈ Fin)
34 elfznn0 12626 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35 ffvelrn 6520 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3617, 34, 35syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37 fznn0sub 12566 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
38 ffvelrn 6520 . . . . . . . . 9 ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3922, 37, 38syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4036, 39jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41 plymul.x . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
427, 30, 41un0mulcl 11519 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4342caovclg 6991 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4440, 43syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45 ssun2 3920 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
46 c0ex 10226 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4746snss 4460 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
4845, 47mpbir 221 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5010, 32, 33, 44, 49fsumcllem 14662 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5150adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
5210, 29, 51elplyd 24157 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
5328, 52eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
54 plyun0 24152 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
5553, 54syl6eleq 2849 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715  {csn 4321  cmpt 4881  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑚 cmap 8023  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  0cn0 11484  cuz 11879  ...cfz 12519  cexp 13054  Σcsu 14615  Polycply 24139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-ply 24143
This theorem is referenced by:  plymul  24173
  Copyright terms: Public domain W3C validator