Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul 24165
 Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymul (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plymul
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑧 𝑎 𝑏 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 elply2 24143 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
32simprbi 483 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
5 plyadd.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 elply2 24143 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
76simprbi 483 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
9 reeanv 3237 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
10 reeanv 3237 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
11 simp1l 1237 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝜑)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1511, 14sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 simp1rl 1302 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
17 simp1rr 1303 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18 simp2l 1239 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
19 simp2r 1240 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 simp3ll 1308 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0})
21 simp3rl 1310 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
22 simp3lr 1309 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
23 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑘) = (𝑤𝑘))
2423oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
2524sumeq2sdv 14626 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
26 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑎𝑘) = (𝑎𝑗))
27 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑗))
2826, 27oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
2928cbvsumv 14617 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))
3025, 29syl6eq 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3130cbvmptv 4894 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3222, 31syl6eq 2802 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))))
33 simp3rr 1311 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))
3423oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
3534sumeq2sdv 14626 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
36 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
3736, 27oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
3837cbvsumv 14617 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))
3935, 38syl6eq 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4039cbvmptv 4894 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4133, 40syl6eq 2802 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))))
42 plymul.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4311, 42sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 24163 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
45443expia 1114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) → ((((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4645rexlimdvva 3168 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4710, 46syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4847rexlimdvva 3168 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
499, 48syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
504, 8, 49mp2and 717 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∃wrex 3043   ∪ cun 3705   ⊆ wss 3707  {csn 4313   ↦ cmpt 4873   “ cima 5261  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ∘𝑓 cof 7052   ↑𝑚 cmap 8015  ℂcc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  ℕ0cn0 11476  ℤ≥cuz 11871  ...cfz 12511  ↑cexp 13046  Σcsu 14607  Polycply 24131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-ply 24135 This theorem is referenced by:  plysub  24166  plymulcl  24168  plyco  24188  plydivlem2  24240  plydivlem4  24242  plydiveu  24244  plymulx0  30925  mpaaeu  38214  rngunsnply  38237
 Copyright terms: Public domain W3C validator