Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivlem3 24270
 Description: Lemma for plydivex 24272. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiv.0 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
Assertion
Ref Expression
plydivlem3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 24170 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 ply0 24184 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5 plydiv.0 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6 cnex 10223 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
8 plyf 24174 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9 ffn 6184 . . . . . . 7 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
101, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
11 plydiv.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 24174 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13 ffn 6184 . . . . . . . 8 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℂ)
15 plyf 24174 . . . . . . . 8 (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16 ffn 6184 . . . . . . . 8 (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
174, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18 inidm 3971 . . . . . . 7 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1914, 17, 7, 7, 18offn 7059 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 0𝑝) Fn ℂ)
20 eqidd 2772 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
21 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
22 0pval 23658 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝𝑧) = 0)
2322adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑧) = 0)
2414, 17, 7, 7, 18, 21, 23ofval 7057 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · 0))
2511, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6504 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2726mul01d 10441 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) · 0) = 0)
2824, 27eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
291, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3130subid1d 10587 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − 0) = (𝐹𝑧))
327, 10, 19, 10, 20, 28, 31offveq 7069 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 𝐹)
3332eqeq1d 2773 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
3432fveq2d 6337 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35 dgrcl 24209 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3611, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11559 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
3837recnd 10274 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
3938addid2d 10443 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
4039eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
4134, 40breq12d 4800 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42 dgrcl 24209 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
431, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4443nn0red 11559 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45 0red 10247 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4644, 37, 45ltsubaddd 10829 . . . . 5 (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
4741, 46bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
4833, 47orbi12d 904 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
495, 48mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50 plydiv.r . . . . . 6 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
51 oveq2 6804 . . . . . . 7 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · 0𝑝))
5251oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)))
5350, 52syl5eq 2817 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)))
5453eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝))
5553fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))))
5655breq1d 4797 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
5754, 56orbi12d 904 . . 3 (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
5857rspcev 3460 . 2 ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
594, 49, 58syl2anc 573 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∃wrex 3062  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ∘𝑓 cof 7046  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280   − cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  ℕ0cn0 11499  0𝑝c0p 23656  Polycply 24160  degcdgr 24163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-0p 23657  df-ply 24164  df-coe 24166  df-dgr 24167 This theorem is referenced by:  plydivex  24272
 Copyright terms: Public domain W3C validator