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Theorem plydivex 24222
Description: Lemma for plydivalg 24224. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
Assertion
Ref Expression
plydivex (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrcl 24159 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43nn0red 11515 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5 plydiv.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 dgrcl 24159 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
87nn0red 11515 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
94, 8resubcld 10621 . . 3 (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10 arch 11452 . . 3 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12 olc 398 . . . 4 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
131adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
14 nnnn0 11462 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
15 breq2 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
1615orbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
1716imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
1817ralbidv 3112 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
1918imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
20 breq2 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
2120orbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
2221imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2322ralbidv 3112 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2423imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
25 breq2 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
2625orbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
2726imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2827ralbidv 3112 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
2928imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
30 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
3130adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3332adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
34 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
3534adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
36 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
3736adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
38 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
395adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
40 plydiv.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
42 eqid 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
43 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
4431, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43plydivlem3 24220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
4544expr 644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
4645ralrimiva 3092 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
47 eqeq1 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝𝑔 = 0𝑝))
48 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
4948oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
5049breq1d 4802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
5147, 50orbi12d 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
52 oveq1 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)))
5352eqeq1d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝))
5452fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))))
5554breq1d 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
5653, 55orbi12d 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
5756rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
5851, 57imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
5958cbvralv 3298 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
6160, 30sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
6260, 32sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6360, 34sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6460, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
65 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
6660, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6760, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
68 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
69 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
70 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
71 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
72 oveq1 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑑) = (𝑧𝑑))
7372oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
7473cbvmptv 4890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
75 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
76 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · 𝑝))
7776oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
7877eqeq1d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
7977fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))))
8079breq1d 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
8178, 80orbi12d 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
8281cbvrexv 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
8382imbi2i 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
8483ralbii 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
8575, 84sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
86 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
87 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
88 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
89 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
9061, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 42, 68, 69, 70, 71, 74, 85, 86, 87, 88, 89plydivlem4 24221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
9190exp32 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
9291ralrimdva 3095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
9359, 92syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
9493ancld 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
95 dgrcl 24159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
985ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9998, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
10099nn0zd 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
10197, 100zsubcld 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
102 nn0z 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ)
103102ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
104 zleltp1 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
105101, 103, 104syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
106101zred 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
107 nn0re 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
108107ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
109106, 108leloed 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
110105, 109bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
111110orbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
112 pm5.63 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
113 df-ne 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
114113anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
115114orbi2i 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
116112, 115bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
117116orbi2i 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
118 or12 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
119 or12 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
120117, 118, 1193bitr4i 292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
121 orass 547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
122120, 121bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123111, 122syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
124123imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
125 jaob 857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
126124, 125syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
127126ralbidva 3111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
128 r19.26 3190 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
129127, 128syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
13094, 129sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
131130expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
132131a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
13319, 24, 29, 24, 46, 132nn0ind 11635 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
13414, 133syl 17 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
135134impcom 445 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
136 eqeq1 2752 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
137 fveq2 6340 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
138137oveq1d 6816 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
139138breq1d 4802 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
140136, 139orbi12d 748 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
141 oveq1 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)))
142 plydiv.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
143141, 142syl6eqr 2800 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
144143eqeq1d 2750 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
145143fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
146145breq1d 4802 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
147144, 146orbi12d 748 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
148147rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
149140, 148imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
150149rspcv 3433 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
15113, 135, 150sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15212, 151syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
153152rexlimdva 3157 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15411, 153mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  wrex 3039   class class class wbr 4792  cmpt 4869  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑓 cof 7048  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  -cneg 10430   / cdiv 10847  cn 11183  0cn0 11455  cz 11540  cexp 13025  0𝑝c0p 23606  Polycply 24110  coeffccoe 24112  degcdgr 24113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-0p 23607  df-ply 24114  df-coe 24116  df-dgr 24117
This theorem is referenced by:  plydivalg  24224
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