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Theorem plyco0 23993
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 811 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝐴𝑘) ≠ 0)
2 ffun 6086 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐴)
32adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → Fun 𝐴)
4 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6 eluznn0 11795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
10 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐴 = ℕ0)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → dom 𝐴 = ℕ0)
129, 11sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
13 funfvima2 6533 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
143, 12, 13syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
1514ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
16 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817peano2zd 11523 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1918ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20 nn0z 11438 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
2120ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
22 eluz 11739 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
2319, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
24 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
2524eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴𝑘) ∈ {0}))
26 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑘) ∈ V
2726elsn 4225 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) ∈ {0} ↔ (𝐴𝑘) = 0)
2825, 27syl6bb 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2915, 23, 283imtr3d 282 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 → (𝐴𝑘) = 0))
3029necon3ad 2836 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
311, 30mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
32 nn0re 11339 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
3332ad2antrl 764 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3418zred 11520 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3633, 35ltnled 10222 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑘))
3731, 36mpbird 247 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘 < (𝑁 + 1))
3817ad2antrr 762 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 zleltp1 11466 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
4021, 38, 39syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
4137, 40mpbird 247 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0)) → 𝑘𝑁)
4241expr 642 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
4342ralrimiva 2995 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
44 simpr 476 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
45 eluznn0 11795 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
465, 44, 45syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
47 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5034adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5146nn0red 11390 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
5249ltp1d 10992 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
53 eluzle 11738 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑛)
5453ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑛)
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 10235 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑁 < 𝑛)
5649, 51ltnled 10222 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑁 < 𝑛 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
5755, 56mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑛𝑁)
58 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
59 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
6059neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑛) ≠ 0))
61 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝑁𝑛𝑁))
6260, 61imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁)))
6362rspcva 3338 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁))
6446, 58, 63syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → ((𝐴𝑛) ≠ 0 → 𝑛𝑁))
6564necon1bd 2841 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 𝑛𝑁 → (𝐴𝑛) = 0))
6657, 65mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝐴𝑛) = 0)
67 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
6867ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝐴 Fn ℕ0)
69 fniniseg 6378 . . . . . . . 8 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) = 0)))
7068, 69syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → (𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) = 0)))
7146, 66, 70mpbir2and 977 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (𝐴 “ {0}))
7271expr 642 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ (𝐴 “ {0})))
7372ssrdv 3642 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0}))
74 funimass3 6373 . . . . . 6 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
753, 12, 74syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
7675adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0} ↔ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (𝐴 “ {0})))
7773, 76mpbird 247 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ {0})
7848ltp1d 10992 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
7948, 34ltnled 10222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8078, 79mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8180adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
82 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑁 + 1)))
8382neeq1d 2882 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0))
84 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8583, 84imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
8685rspcva 3338 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
875, 86sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → ((𝐴‘(𝑁 + 1)) ≠ 0 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8887necon1bd 2841 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁 → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = 0))
8981, 88mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) = 0)
90 uzid 11740 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9118, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
92 funfvima2 6533 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
933, 12, 92syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9491, 93mpd 15 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9594adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴‘(𝑁 + 1)) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9689, 95eqeltrrd 2731 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → 0 ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9796snssd 4372 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → {0} ⊆ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9877, 97eqssd 3653 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
9943, 98impbida 895 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  elply2  23997  plyeq0lem  24011  coeeulem  24025  dgrlem  24030  dgrub2  24036  dgrlb  24037  coeeq2  24043  dgrle  24044  coeaddlem  24050  coemullem  24051  coe1termlem  24059  dgreq0  24066  coecj  24079  basellem2  24853
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