MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyadd 24093
Description: The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plyadd (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plyadd
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑧 𝑎 𝑏 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 elply2 24072 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
32simprbi 483 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
5 plyadd.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 elply2 24072 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
76simprbi 483 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
9 reeanv 3209 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
10 reeanv 3209 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
11 simp1l 1216 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝜑)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1511, 14sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 simp1rl 1275 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
17 simp1rr 1276 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18 simp2l 1218 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
19 simp2r 1219 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 simp3ll 1281 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0})
21 simp3rl 1283 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
22 simp3lr 1282 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
23 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑘) = (𝑤𝑘))
2423oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
2524sumeq2sdv 14555 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
26 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑎𝑘) = (𝑎𝑗))
27 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑗))
2826, 27oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
2928cbvsumv 14546 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))
3025, 29syl6eq 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3130cbvmptv 4858 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3222, 31syl6eq 2774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))))
33 simp3rr 1284 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))
3423oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
3534sumeq2sdv 14555 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
36 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
3736, 27oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
3837cbvsumv 14546 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))
3935, 38syl6eq 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4039cbvmptv 4858 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4133, 40syl6eq 2774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))))
4212, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41plyaddlem 24091 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
43423expia 1114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) → ((((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4443rexlimdvva 3140 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4510, 44syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4645rexlimdvva 3140 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
479, 46syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
484, 8, 47mp2and 717 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wrex 3015  cun 3678  wss 3680  {csn 4285  cmpt 4837  cima 5221  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  𝑚 cmap 7974  cc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  0cn0 11405  cuz 11800  ...cfz 12440  cexp 12975  Σcsu 14536  Polycply 24060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-ply 24064
This theorem is referenced by:  plysub  24095  plyaddcl  24096  plyco  24117  plydivlem4  24171  iaa  24200  rngunsnply  38162
  Copyright terms: Public domain W3C validator