Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1term Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1term 24179
 Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
Assertion
Ref Expression
ply1term ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3745 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ply1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
32ply1termlem 24178 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
41, 3stoic3 1848 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
5 simp1 1129 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 0cnd 10234 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
76snssd 4473 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
85, 7unssd 3938 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9 simp3 1131 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1228 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
11 elun1 3929 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13 ssun2 3926 . . . . . 6 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14 c0ex 10235 . . . . . . 7 0 ∈ V
1514snss 4449 . . . . . 6 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
1613, 15mpbir 221 . . . . 5 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17 ifcl 4267 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1812, 16, 17sylancl 566 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
198, 9, 18elplyd 24177 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
204, 19eqeltrd 2849 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
21 plyun0 24172 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
2220, 21syl6eleq 2859 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3719   ⊆ wss 3721  ifcif 4223  {csn 4314   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  0cc0 10137   · cmul 10142  ℕ0cn0 11493  ...cfz 12532  ↑cexp 13066  Σcsu 14623  Polycply 24159 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-ply 24163 This theorem is referenced by:  plypow  24180  plyconst  24181  coe1termlem  24233  dgrcolem2  24249  plydivlem4  24270
 Copyright terms: Public domain W3C validator